Номер 83, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Постройте график функции $y = x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = x^2 + 2$;

2) $y = (x - 1)^2$;

3) $y = (x + 2)^2 + 2$.

Для построения графиков заданных функций сначала построим базовый график функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке (0, 0).

Составим таблицу значений для построения параболы $y = x^2$:

• при $x = 0, y = 0^2 = 0$ → точка (0, 0)
• при $x = 1, y = 1^2 = 1$ → точка (1, 1)
• при $x = -1, y = (-1)^2 = 1$ → точка (-1, 1)
• при $x = 2, y = 2^2 = 4$ → точка (2, 4)
• при $x = -2, y = (-2)^2 = 4$ → точка (-2, 4)

Соединив эти точки плавной линией, мы получим график параболы $y=x^2$. Теперь, используя этот график как основу, построим остальные.

1) y = x² + 2

График функции $y = x^2 + 2$ получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси OY) на 2 единицы вверх. Каждая точка исходного графика смещается на 2 единицы вверх. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 2)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = x^2 + 2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

2) y = (x - 1)²

График функции $y = (x - 1)^2$ получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси OX) на 1 единицу вправо. Каждая точка исходного графика смещается на 1 единицу вправо. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 0)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = (x - 1)^2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX.

3) y = (x + 2)² + 2

График функции $y = (x + 2)^2 + 2$ получается из графика функции $y = x^2$ с помощью двух преобразований:

1. Параллельный перенос вдоль оси абсцисс (оси OX) на 2 единицы влево (так как $x+2 = x - (-2)$).
2. Параллельный перенос вдоль оси ординат (оси OY) на 2 единицы вверх.

Таким образом, каждая точка исходного графика смещается на 2 единицы влево и на 2 единицы вверх. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, 2)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = (x + 2)^2 + 2$ необходимо сдвинуть график функции $y = x^2$ на 2 единицы влево вдоль оси OX и на 2 единицы вверх вдоль оси OY.