Номер 96, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} -3x - 5, & \text{если } x \le 1, \\ x^2 - 4x - 5, & \text{если } 1 < x < 4, \\ -5, & \text{если } x \ge 4; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \le -1, \\ x - x^2, & \text{если } -1 < x \le 2, \\ 1, & \text{если } x > 2. \end{cases}$

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} -3x - 5, & \text{если } x \le 1 \\ x^2 - 4x - 5, & \text{если } 1 < x < 4 \\ -5, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$ рассмотрим каждый ее участок.

1. При $x \le 1$ функция задана формулой $y = -3x - 5$. Это линейная функция, ее график — луч. Найдем координаты двух точек этого луча. Граничная точка: при $x = 1$, $y = -3(1) - 5 = -8$. Точка $(1, -8)$ принадлежит графику (закрашенная точка). В качестве второй точки возьмем $x = 0$, тогда $y = -3(0) - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$. Таким образом, строим луч, проходящий через точки $(0, -5)$ и $(1, -8)$.

2. При $1 < x < 4$ функция задана формулой $y = x^2 - 4x - 5$. Это квадратичная функция, ее график — часть параболы с ветвями вверх. Координаты вершины параболы: $x_в = -b/(2a) = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$; $y_в = 2^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$. Вершина $(2, -9)$ находится в рассматриваемом интервале. Найдем значения на границах интервала: при $x \to 1^+$, $y \to 1^2 - 4(1) - 5 = -8$; при $x \to 4^-$, $y \to 4^2 - 4(4) - 5 = -5$. Итак, строим дугу параболы с вершиной в $(2, -9)$, концы которой — "выколотые" точки $(1, -8)$ и $(4, -5)$.

3. При $x \ge 4$ функция задана формулой $y = -5$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальный луч, выходящий из точки $(4, -5)$ и идущий вправо. Точка $(4, -5)$ принадлежит графику (закрашенная точка).

Объединяя все три части, заметим, что в точке $x=1$ "выколотая" точка $(1, -8)$ второй части "закрашивается" конечной точкой первой части, а в точке $x=4$ "выколотая" точка $(4, -5)$ второй части "закрашивается" начальной точкой третьей части. Таким образом, функция непрерывна на всей числовой оси.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из трех частей: луча $y = -3x - 5$ на интервале $(-\infty, 1]$; участка параболы $y = x^2 - 4x - 5$ с вершиной в $(2, -9)$ на интервале $(1, 4)$; и горизонтального луча $y = -5$ на интервале $[4, +\infty)$.

Для построения графика функции $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \le -1 \\ x - x^2, & \text{если } -1 < x \le 2 \\ 1, & \text{если } x > 2 \end{cases}$ рассмотрим каждый участок отдельно.

1. При $x \le -1$ функция задана формулой $y = 2x + 1$. Это линейная функция, ее график — луч. Найдем координаты двух точек. Граничная точка: при $x = -1$, $y = 2(-1) + 1 = -1$. Точка $(-1, -1)$ принадлежит графику (закрашенная точка). Вторая точка: при $x = -2$, $y = 2(-2) + 1 = -3$. Точка $(-2, -3)$. Строим луч, проходящий через точки $(-2, -3)$ и $(-1, -1)$.

2. При $-1 < x \le 2$ функция задана формулой $y = x - x^2$. Это квадратичная функция ($y = -x^2+x$), ее график — часть параболы с ветвями вниз. Координаты вершины: $x_в = -b/(2a) = -1/(2 \cdot (-1)) = 0.5$; $y_в = 0.5 - (0.5)^2 = 0.25$. Вершина $(0.5, 0.25)$ находится в рассматриваемом интервале. Найдем значения на границах интервала. При $x \to -1^+$, $y \to -1 - (-1)^2 = -2$. Точка $(-1, -2)$ "выколотая". При $x = 2$, $y = 2 - 2^2 = -2$. Точка $(2, -2)$ принадлежит графику (закрашенная точка). Парабола пересекает ось Ох в точках, где $x - x^2 = 0$, т.е. $x=0$ и $x=1$. Строим дугу параболы с вершиной в $(0.5, 0.25)$, проходящую через точки $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(2, -2)$ и начинающуюся в "выколотой" точке $(-1, -2)$.

3. При $x > 2$ функция задана формулой $y = 1$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальный луч, выходящий из "выколотой" точки $(2, 1)$ и идущий вправо.

Объединяя все три части, видим, что функция имеет разрывы. В точке $x=-1$ значение функции равно $f(-1)=-1$ (из первой части), а предел справа равен $-2$. В точке $x=2$ значение функции равно $f(2)=-2$ (из второй части), а предел справа равен $1$. Это разрывы первого рода (скачки).

Ответ: График функции состоит из трех несвязанных частей. На интервале $(-\infty, -1]$ — это луч, заканчивающийся в закрашенной точке $(-1, -1)$. На интервале $(-1, 2]$ — это дуга параболы с ветвями вниз и вершиной в $(0.5, 0.25)$, которая начинается в "выколотой" точке $(-1, -2)$ и заканчивается в закрашенной точке $(2, -2)$. На интервале $(2, +\infty)$ — это горизонтальный луч $y=1$, начинающийся в "выколотой" точке $(2, 1)$.