Страница 56 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. График квадратичной функции — парабола с вершиной в начале координат, проходящая через точку $(3; -27)$.

Задайте эту функцию формулой.

Общий вид уравнения квадратичной функции, график которой представляет собой параболу с вершиной в начале координат (точке (0; 0)), задается формулой:

$y = ax^2$, где $a$ — некоторый коэффициент, не равный нулю.

По условию задачи, парабола проходит через точку с координатами (3; –27). Это означает, что если подставить $x = 3$ в уравнение функции, то значение $y$ должно быть равно –27. Используем это, чтобы найти значение коэффициента $a$.

Подставим значения $x = 3$ и $y = -27$ в формулу $y = ax^2$:

$-27 = a \cdot (3)^2$

$-27 = a \cdot 9$

Теперь решим это уравнение относительно $a$:

$a = \frac{-27}{9}$

$a = -3$

Мы нашли коэффициент $a$. Теперь подставим его значение в общую формулу функции:

$y = -3x^2$

Это и есть искомая формула функции.

Ответ: $y = -3x^2$

102. График квадратичной функции — парабола с вершиной в точке $A(0; -3)$, проходящая через точку $B(3; 24)$. Задайте эту функцию формулой.

Для нахождения формулы квадратичной функции воспользуемся её видом с выделенным квадратом (вершинной формой), который удобен, когда известны координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$:
$y = a(x - x_0)^2 + y_0$

По условию задачи, вершина параболы находится в точке А(0; –3). Следовательно, координаты вершины $x_0 = 0$ и $y_0 = -3$.

Подставим эти значения в общую формулу: $y = a(x - 0)^2 + (-3)$
$y = a x^2 - 3$

Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся второй точкой, через которую проходит график, — точкой B(3; 24). Подставим координаты этой точки ($x = 3$, $y = 24$) в полученное уравнение: $24 = a \cdot 3^2 - 3$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:
$24 = 9a - 3$
$24 + 3 = 9a$
$27 = 9a$
$a = \frac{27}{9}$
$a = 3$

Мы нашли значение коэффициента $a = 3$. Подставим его в уравнение $y = ax^2 - 3$, чтобы получить итоговую формулу функции: $y = 3x^2 - 3$

Ответ: $y = 3x^2 - 3$

103. Пусть $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если:

1) $a < 0$, $D > 0$, $c > 0$, $-\frac{b}{2a} > 0;$

2) $a > 0$, $D = 0$, $-\frac{b}{2a} > 0;$

3) $a < 0$, $D < 0$, $-\frac{b}{2a} < 0.$

Для построения схематического графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ проанализируем, как заданные условия влияют на его ключевые характеристики: направление ветвей, положение вершины и точки пересечения с осями координат.

1) $a < 0, D > 0, c > 0, -\frac{b}{2a} > 0$

Проанализируем свойства параболы на основе заданных условий:
• Условие $a < 0$ означает, что ветви параболы направлены вниз.
• Условие $D > 0$ (дискриминант $D = b^2 - 4ac$) означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в двух точках.
• Условие $c > 0$ означает, что парабола пересекает ось ординат (Oy) в точке $(0, c)$, которая лежит выше оси Ox.
• Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ означает, что абсцисса вершины параболы положительна, то есть вершина находится правее оси Oy.
• Ордината вершины $y_0 = -\frac{D}{4a}$. Так как $D>0$ и $a<0$, то знаменатель $4a$ отрицателен, а числитель $-D$ также отрицателен. В результате $y_0 = \frac{-D}{4a} > 0$. Следовательно, вершина параболы $(x_0, y_0)$ находится в I координатной четверти.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы расположена в первой координатной четверти. График пересекает ось Oy в положительной точке и пересекает ось Ox в двух различных точках.

2) $a > 0, D = 0, -\frac{b}{2a} > 0$

Проанализируем свойства параболы:
• Условие $a > 0$ означает, что ветви параболы направлены вверх.
• Условие $D = 0$ означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет один действительный корень. Это значит, что парабола касается оси абсцисс (Ox) в одной точке, которая и является её вершиной.
• Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ означает, что абсцисса вершины (и точка касания) положительна. Таким образом, вершина параболы лежит на положительной полуоси Ox.
• Ордината вершины $y_0 = -\frac{D}{4a} = -\frac{0}{4a} = 0$.
• Точка пересечения с осью Oy — это $(0, c)$. Из условия $D = b^2 - 4ac = 0$ следует, что $b^2 = 4ac$. Поскольку $a > 0$ и $b^2 \ge 0$, то $c \ge 0$. Если предположить, что $c=0$, то и $b=0$, что привело бы к $x_0 = 0$, а это противоречит условию. Следовательно, $c>0$, и парабола пересекает ось Oy в положительной точке.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вверх. Её вершина лежит на положительной части оси Ox, то есть парабола касается оси Ox в точке с положительной абсциссой.

3) $a < 0, D < 0, -\frac{b}{2a} < 0$

Проанализируем свойства параболы:
• Условие $a < 0$ означает, что ветви параболы направлены вниз.
• Условие $D < 0$ означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, парабола не пересекает ось абсцисс (Ox). Так как ветви направлены вниз, вся парабола расположена под осью Ox.
• Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$ означает, что абсцисса вершины параболы отрицательна, то есть вершина находится левее оси Oy.
• Ордината вершины $y_0 = -\frac{D}{4a}$. Так как $D<0$ и $a<0$, то числитель $-D$ положителен, а знаменатель $4a$ отрицателен. Значит, $y_0 < 0$. Следовательно, вершина параболы $(x_0, y_0)$ находится в III координатной четверти.
• Точка пересечения с осью Oy — $(0, c)$. Так как вся парабола лежит ниже оси Ox, то $y(0) = c < 0$.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вся парабола полностью расположена ниже оси Ox, а её вершина находится в третьей координатной четверти.

104. При каком значении $a$ график квадратичной функции $y = ax^2 + (a + 2)x + 2$ имеет с осью абсцисс одну общую точку?

График функции имеет с осью абсцисс (осью Ox) одну общую точку, если соответствующее уравнение $ax^2 + (a+2)x + 2 = 0$ имеет ровно один действительный корень.

В условии задачи функция названа квадратичной, что по определению означает, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Квадратное уравнение имеет один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант (D) равен нулю. Вычислим дискриминант для нашего уравнения. Коэффициенты уравнения: $A=a$, $B=(a+2)$, $C=2$.

Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

Подставим наши коэффициенты:

$D = (a+2)^2 - 4 \cdot a \cdot 2$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $a$:

$(a+2)^2 - 8a = 0$

$a^2 + 4a + 4 - 8a = 0$

$a^2 - 4a + 4 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом разности:

$(a-2)^2 = 0$

Из этого следует, что:

$a - 2 = 0$

$a = 2$

Полученное значение $a=2$ удовлетворяет условию $a \neq 0$, следовательно, является решением задачи.

(Заметим, что если бы $a=0$, функция стала бы линейной $y=2x+2$ и также имела бы одну точку пересечения с осью абсцисс. Но так как в условии речь идет о квадратичной функции, этот случай не рассматривается).

Ответ: $a=2$.

105. При каких значениях $a$ функция $y = -2x^2 - 3x + a$ принимает отрицательные значения при всех действительных значениях $x$?

Данная функция $y = -2x^2 - 3x + a$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола.

Для того чтобы функция принимала отрицательные значения при всех действительных значениях $x$, необходимо выполнение двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз.
2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс (Ox), то есть не иметь с ней общих точек.

1. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$. Так как $-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Первое условие выполняется.

2. Чтобы парабола не пересекала ось Ox, соответствующее квадратное уравнение $-2x^2 - 3x + a = 0$ не должно иметь действительных корней. Это условие выполняется, если дискриминант ($D$) этого уравнения меньше нуля ($D < 0$).

Найдем дискриминант. Для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

В нашем случае коэффициенты равны: $A = -2$, $B = -3$, $C = a$.

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot a$

$D = 9 - (-8a)$

$D = 9 + 8a$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$9 + 8a < 0$

Перенесем 9 в правую часть неравенства:

$8a < -9$

Разделим обе части на 8:

$a < -\frac{9}{8}$

Следовательно, при $a < -\frac{9}{8}$ функция будет принимать только отрицательные значения.

Ответ: $a < -\frac{9}{8}$

106. При каких значениях $a$ функция $y = (a+1)x^2 - 2x + 3$ принимает положительные значения при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы функция $y = (a + 1)x^2 - 2x + 3$ принимала положительные значения при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы неравенство $(a + 1)x^2 - 2x + 3 > 0$ выполнялось для любого действительного $x$.

Рассмотрим два возможных случая для коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит при $a + 1 = 0$, то есть $a = -1$.
В этом случае функция становится линейной: $y = -2x + 3$.
Значения этой функции не всегда положительны. Например, при $x=2$ значение функции $y = -2(2) + 3 = -1$, что меньше нуля. Следовательно, $a = -1$ не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Это происходит при $a + 1 \neq 0$. В этом случае функция является квадратичной, и ее график — парабола.
Чтобы значения функции были положительны при всех $x$, график параболы должен полностью находиться выше оси абсцисс. Для этого должны выполняться два условия:
1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Это означает, что коэффициент при $x^2$ должен быть положительным: $a + 1 > 0$.
2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс. Это означает, что квадратное уравнение $(a + 1)x^2 - 2x + 3 = 0$ не должно иметь действительных корней, то есть его дискриминант $D$ должен быть отрицательным.

Составим и решим систему неравенств, исходя из этих условий:

$\begin{cases} a + 1 > 0 \\ D < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$a + 1 > 0 \implies a > -1$.

Теперь найдем дискриминант и решим второе неравенство. Для квадратного трехчлена $(a + 1)x^2 - 2x + 3$ дискриминант равен:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot (a + 1) \cdot 3 = 4 - 12(a + 1) = 4 - 12a - 12 = -12a - 8$.
Решим неравенство $D < 0$:
$-12a - 8 < 0$
$-12a < 8$
Разделим обе части на -12, изменив знак неравенства на противоположный:
$a > \frac{8}{-12}$
$a > -\frac{2}{3}$.

Теперь необходимо найти общее решение для системы неравенств:
$\begin{cases} a > -1 \\ a > -\frac{2}{3} \end{cases}$
Поскольку $-\frac{2}{3} > -1$, пересечением этих двух условий является $a > -\frac{2}{3}$.

Таким образом, функция принимает положительные значения при всех действительных $x$, если $a > -\frac{2}{3}$.

Ответ: $a \in (-\frac{2}{3}; +\infty)$.

107. При каких значениях $a$ функция $y = (a - 2)x^2 + 2x - 7$ принимает неположительные значения при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы функция $y = (a - 2)x^2 + 2x - 7$ принимала неположительные значения при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы неравенство $(a - 2)x^2 + 2x - 7 \le 0$ выполнялось для любого $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Случай, когда выражение является линейной функцией.
Это происходит, если коэффициент при $x^2$ равен нулю:
$a - 2 = 0 \implies a = 2$.
При $a = 2$ функция принимает вид $y = 2x - 7$. Это линейная функция, область значений которой — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$. Следовательно, она принимает как отрицательные, так и положительные значения, и условие $y \le 0$ не выполняется для всех $x$. Таким образом, $a = 2$ не является решением.

2. Случай, когда выражение является квадратичной функцией.
Это происходит, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю: $a - 2 \neq 0$.
Графиком квадратичной функции является парабола. Чтобы парабола целиком лежала не выше оси абсцисс (т.е. $y \le 0$ для всех $x$), необходимо одновременное выполнение двух условий:

a) Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент должен быть отрицательным:
$a - 2 < 0 \implies a < 2$.

б) Парабола не должна пересекать ось абсцисс более одного раза (может касаться её или не иметь с ней общих точек). Это означает, что дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения должен быть неположительным:
$D \le 0$.
Найдем дискриминант для уравнения $(a - 2)x^2 + 2x - 7 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (a - 2) \cdot (-7) = 4 + 28(a - 2) = 4 + 28a - 56 = 28a - 52$.
Теперь решим неравенство $D \le 0$:
$28a - 52 \le 0$
$28a \le 52$
$a \le \frac{52}{28}$
$a \le \frac{13}{7}$

Для выполнения условия задачи в этом случае необходимо, чтобы оба условия (а и б) выполнялись одновременно. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} a < 2 \\ a \le \frac{13}{7} \end{cases}$
Поскольку $\frac{13}{7} = 1\frac{6}{7}$, что меньше 2, решением системы является $a \le \frac{13}{7}$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что функция принимает неположительные значения при всех действительных $x$, если $a \le \frac{13}{7}$.
Ответ: $a \in (-\infty; \frac{13}{7}]$.

108. При каком значении с наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 6x + c$ равно $-2$?

Данная функция $y = 3x^2 - 6x + c$ является квадратичной. Её график — парабола.

Коэффициент при $x^2$ равен 3, он положительный ($a = 3 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, и оно достигается в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ для функции $y = ax^2 + bx + c$ можно найти по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a}$
$y_v = y(x_v)$

Найдем абсциссу (координату x) вершины нашей параболы, где $a=3$ и $b=-6$:
$x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Наименьшее значение функции — это ордината (координата y) вершины $y_v$. Для её нахождения подставим $x_v = 1$ в исходное уравнение функции:
$y_v = 3(1)^2 - 6(1) + c = 3 - 6 + c = c - 3$

Согласно условию задачи, наименьшее значение функции равно -2. Значит, мы можем приравнять полученное выражение для $y_v$ к -2:
$c - 3 = -2$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $c$:
$c = -2 + 3$
$c = 1$

Таким образом, при $c=1$ наименьшее значение функции будет равно -2.

Ответ: 1

109. При каких значениях $p$ и $q$ вершина параболы $y = x^2 + px + q$ находится в точке (2; 5)?

Для решения этой задачи воспользуемся формой записи уравнения параболы через координаты ее вершины. Если вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится в точке $(x_v; y_v)$, то ее уравнение можно записать в виде $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.

В нашем случае дано уравнение $y = x^2 + px + q$. Сравнивая его со стандартной формой, видим, что коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$.

По условию, вершина параболы находится в точке $(2; 5)$. Следовательно, $x_v = 2$ и $y_v = 5$.

Подставим значения $a=1$, $x_v=2$ и $y_v=5$ в уравнение параболы в вершинной форме:

$y = 1 \cdot (x - 2)^2 + 5$

Теперь раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $y = x^2 + px + q$, чтобы найти значения $p$ и $q$.

$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) + 5$

$y = (x^2 - 4x + 4) + 5$

$y = x^2 - 4x + 9$

Сравнивая полученное уравнение $y = x^2 - 4x + 9$ с исходным уравнением $y = x^2 + px + q$, мы видим, что коэффициент при $x$ (то есть $p$) равен -4, а свободный член (то есть $q$) равен 9.

Ответ: $p = -4$, $q = 9$.

110. Парабола $y = ax^2 + bx + c$ имеет вершину в точке $M(3; 1)$ и проходит через точку $K(1; 3)$. Найдите значения коэффициентов $a, b$ и $c$.

Для решения задачи воспользуемся уравнением параболы, записанным в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0; y_0)$ — координаты вершины параболы.

По условию, вершина параболы находится в точке $M(3; 1)$. Следовательно, $x_0 = 3$ и $y_0 = 1$. Подставим эти значения в уравнение:

$y = a(x - 3)^2 + 1$

Также известно, что парабола проходит через точку $K(1; 3)$. Подставим координаты этой точки в полученное уравнение, чтобы найти значение коэффициента $a$:

$3 = a(1 - 3)^2 + 1$

$3 = a(-2)^2 + 1$

$3 = 4a + 1$

$4a = 3 - 1$

$4a = 2$

$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, уравнение параболы имеет вид:

$y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 + 1$

Чтобы найти коэффициенты $b$ и $c$, раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 1$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) + 1$

$y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2} \cdot 6x + \frac{1}{2} \cdot 9 + 1$

$y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{9}{2} + 1$

$y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{9}{2} + \frac{2}{2}$

$y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{11}{2}$

Сравнивая полученное уравнение с уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находим значения коэффициентов:

$a = \frac{1}{2}$

$b = -3$

$c = \frac{11}{2}$

Ответ: $a = \frac{1}{2}$, $b = -3$, $c = \frac{11}{2}$.

111. Постройте график функции:

1) $y = \frac{|x|}{x}(x^2 - x - 2);$

2) $y = x^2 - 2|x| - 3;$

3) $y = x^2 + x\frac{|x+1|}{x+1} - 6;$

4) $y = x^2 + 2|x+1| - x - 2.$

1) $y = \frac{|x|}{x}(x^2 - x - 2)$

Для построения графика этой функции, раскроем модуль $|x|$.

Область определения функции: $x \neq 0$, так как в знаменателе стоит $x$. Это означает, что на графике в точке $x=0$ будет разрыв (выколотые точки).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x > 0$
В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{x}{x}(x^2 - x - 2) = x^2 - x - 2$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее ключевые точки:
- Вершина параболы: $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. $y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -2.25$. Координаты вершины $(\frac{1}{2}; -2.25)$. Так как $x_v = 0.5 > 0$, вершина принадлежит этой части графика.
- Пересечение с осью Ox: $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = -1$. Так как мы рассматриваем $x > 0$, нам подходит только корень $x=2$. Точка пересечения $(2, 0)$.
- Точка разрыва: при $x \to 0^+$, $y \to 0^2 - 0 - 2 = -2$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(0, -2)$.

Случай 2: $x < 0$
В этом случае $|x| = -x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{-x}{x}(x^2 - x - 2) = -(x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 2$.
Это парабола с ветвями вниз. Найдем ее ключевые точки:
- Вершина параболы: $x_v = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2}$. Так как $x_v = 0.5$ не принадлежит интервалу $x < 0$, вершина не является частью этого куска графика.
- Пересечение с осью Ox: $-x^2 + x + 2 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$. Корни те же: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$. Так как мы рассматриваем $x < 0$, нам подходит корень $x=-1$. Точка пересечения $(-1, 0)$.
- Точка разрыва: при $x \to 0^-$, $y \to -0^2 + 0 + 2 = 2$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(0, 2)$.

Собираем график: для $x > 0$ строим часть параболы $y = x^2 - x - 2$ с выколотой точкой $(0, -2)$. Для $x < 0$ строим часть параболы $y = -x^2 + x + 2$ с выколотой точкой $(0, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. При $x > 0$ это часть параболы $y = x^2 - x - 2$, начинающаяся из выколотой точки $(0, -2)$, с вершиной в $(0.5, -2.25)$ и пересечением оси Ox в точке $(2, 0)$. При $x < 0$ это часть параболы $y = -x^2 + x + 2$, начинающаяся из выколотой точки $(0, 2)$ и пересекающая ось Ox в точке $(-1, 0)$.

2) $y = x^2 - 2|x| - 3$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Тогда функцию можно переписать как $y = |x|^2 - 2|x| - 3$.
Эта функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 2|-x| - 3 = x^2 - 2|x| - 3 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

Рассмотрим случай $x \ge 0$:
В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = x^2 - 2x - 3$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее ключевые точки:
- Вершина параболы: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. $y_v = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$. Координаты вершины $(1, -4)$.
- Пересечение с осью Ox: $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = -1$. Так как мы рассматриваем $x \ge 0$, подходит корень $x=3$. Точка пересечения $(3, 0)$.
- Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.

Строим график для $x \ge 0$: это часть параболы, выходящая из точки $(0, -3)$, проходящая через вершину $(1, -4)$ и пересекающая ось Ox в точке $(3, 0)$.

Теперь отражаем эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Вершина $(1, -4)$ отразится в точку $(-1, -4)$. Точка $(3, 0)$ отразится в точку $(-3, 0)$. Точка $(0, -3)$ лежит на оси симметрии и останется на месте.

Ответ: График функции — объединение двух частей парабол, симметричное относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ это график параболы $y = x^2 - 2x - 3$. Для $x < 0$ это график параболы $y = x^2 + 2x - 3$. График имеет вершины в точках $(1, -4)$ и $(-1, -4)$, пересекает ось Oy в точке $(0, -3)$ и ось Ox в точках $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

3) $y = x^2 + x\frac{|x+1|}{x+1} - 6$

Область определения функции: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. В точке $x=-1$ на графике будет разрыв.

Раскроем модуль $|x+1|$:

Случай 1: $x+1 > 0 \implies x > -1$
В этом случае $|x+1| = x+1$, и функция принимает вид:
$y = x^2 + x\frac{x+1}{x+1} - 6 = x^2 + x - 6$.
Это парабола с ветвями вверх.
- Вершина: $x_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$. $y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$. Вершина $(-0.5, -6.25)$ принадлежит рассматриваемому интервалу $x > -1$.
- Пересечение с осью Ox: $x^2 + x - 6 = 0 \implies (x+3)(x-2)=0$. Корни $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Подходит $x=2$. Точка $(2, 0)$.
- Точка разрыва: при $x \to -1^+$, $y \to (-1)^2 + (-1) - 6 = -6$. Выколотая точка $(-1, -6)$.

Случай 2: $x+1 < 0 \implies x < -1$
В этом случае $|x+1| = -(x+1)$, и функция принимает вид:
$y = x^2 + x\frac{-(x+1)}{x+1} - 6 = x^2 - x - 6$.
Это парабола с ветвями вверх.
- Вершина: $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0.5$. Вершина не принадлежит интервалу $x < -1$.
- Пересечение с осью Ox: $x^2 - x - 6 = 0 \implies (x-3)(x+2)=0$. Корни $x_1 = 3$, $x_2 = -2$. Подходит $x=-2$. Точка $(-2, 0)$.
- Точка разрыва: при $x \to -1^-$, $y \to (-1)^2 - (-1) - 6 = 1 + 1 - 6 = -4$. Выколотая точка $(-1, -4)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. При $x > -1$ это часть параболы $y = x^2 + x - 6$ с выколотой точкой $(-1, -6)$ и вершиной в $(-0.5, -6.25)$. При $x < -1$ это часть параболы $y = x^2 - x - 6$ с выколотой точкой $(-1, -4)$.

4) $y = x^2 + 2|x+1| - x - 2$

Для построения графика раскроем модуль $|x+1|$. Критическая точка $x+1=0 \implies x=-1$.

Случай 1: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
В этом случае $|x+1| = x+1$.
$y = x^2 + 2(x+1) - x - 2 = x^2 + 2x + 2 - x - 2 = x^2 + x$.
Это парабола с ветвями вверх.
- Вершина: $x_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$. $y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25$. Вершина $(-0.5, -0.25)$ принадлежит интервалу $x \ge -1$.
- Пересечение с осью Ox: $x^2+x=0 \implies x(x+1)=0$. Корни $x_1=0$, $x_2=-1$. Оба корня принадлежат интервалу $x \ge -1$. Точки $(0, 0)$ и $(-1, 0)$.
- Точка "склейки": при $x=-1$, $y = (-1)^2 + (-1) = 0$.

Случай 2: $x+1 < 0 \implies x < -1$
В этом случае $|x+1| = -(x+1)$.
$y = x^2 + 2(-(x+1)) - x - 2 = x^2 - 2x - 2 - x - 2 = x^2 - 3x - 4$.
Это парабола с ветвями вверх.
- Вершина: $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$. Вершина не принадлежит интервалу $x < -1$. На этом интервале функция убывает.
- Пересечение с осью Ox: $x^2 - 3x - 4 = 0 \implies (x-4)(x+1)=0$. Корни $x_1=4$, $x_2=-1$. Ни один из них не принадлежит интервалу $x < -1$.
- Точка "склейки": при $x \to -1^-$, $y \to (-1)^2 - 3(-1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.

Функция непрерывна в точке $x=-1$, так как значения слева и справа совпадают. График состоит из двух частей парабол, которые плавно соединяются в точке $(-1, 0)$.

Ответ: График состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(-1, 0)$. При $x \ge -1$ это парабола $y = x^2 + x$ с вершиной в точке $(-0.5, -0.25)$ и пересечением осей в точках $(-1, 0)$ и $(0, 0)$. При $x < -1$ это часть параболы $y = x^2 - 3x - 4$.