Страница 59 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Для каждого значения a решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} x^2 + x - 6 < 0, \\ x \ge a; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + 9x + 8 \ge 0, \\ x < a. \end{cases} $

1)

Решим первое неравенство системы $x^2 + x - 6 < 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями, то есть $x \in (-3, 2)$.

Теперь необходимо найти пересечение полученного интервала $(-3, 2)$ с решением второго неравенства $x \ge a$. Результат зависит от положения точки $a$ на числовой оси относительно интервала $(-3, 2)$.

1. Если $a$ находится правее или совпадает с правым концом интервала, то есть $a \ge 2$, то множество $x \ge a$ не имеет общих точек с интервалом $(-3, 2)$. В этом случае система не имеет решений.

2. Если $a$ находится между концами интервала, то есть $-3 < a < 2$, то пересечением множеств $(-3, 2)$ и $[a, +\infty)$ является полуинтервал $[a, 2)$.

3. Если $a$ находится левее левого конца интервала или совпадает с ним, то есть $a \le -3$, то все точки интервала $(-3, 2)$ удовлетворяют условию $x > -3$, а значит и условию $x \ge a$. Следовательно, решением системы будет весь интервал $(-3, 2)$.

Ответ: если $a \le -3$, то $x \in (-3, 2)$; если $-3 < a < 2$, то $x \in [a, 2)$; если $a \ge 2$, то решений нет.

2)

Решим первое неравенство системы $x^2 + 9x + 8 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 9x + 8 = 0$. По теореме Виета корни равны $x_1 = -8$ и $x_2 = -1$. Так как ветви параболы $y = x^2 + 9x + 8$ направлены вверх, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне отрезка между корнями (включая сами корни). Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -8] \cup [-1, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого множества с решением второго неравенства $x < a$. Рассмотрим различные положения точки $a$ относительно ключевых точек $-8$ и $-1$.

1. Если $a \le -8$, то интервал $(-\infty, a)$ целиком содержится в луче $(-\infty, -8]$. Их пересечение и будет решением системы: $(-\infty, a)$.

2. Если $-8 < a \le -1$, то интервал $(-\infty, a)$ полностью включает в себя луч $(-\infty, -8]$, но не пересекается с лучом $[-1, +\infty)$, так как все его точки строго меньше $-1$. В этом случае решением системы будет луч $(-\infty, -8]$.

3. Если $a > -1$, то интервал $(-\infty, a)$ включает в себя луч $(-\infty, -8]$ и пересекается с лучом $[-1, +\infty)$. Пересечение $(-\infty, a)$ с $[-1, +\infty)$ дает полуинтервал $[-1, a)$. Таким образом, общее решение системы — это объединение $(-\infty, -8] \cup [-1, a)$.

Ответ: если $a \le -8$, то $x \in (-\infty, a)$; если $-8 < a \le -1$, то $x \in (-\infty, -8]$; если $a > -1$, то $x \in (-\infty, -8] \cup [-1, a)$.

125. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $x^2 - (a-2)x - 2a \ge 0;$

2) $x^2 - 3ax + 2a^2 - a - 1 < 0.$

1) $x^2 - (a - 2)x - 2a \ge 0$

Это квадратное неравенство относительно переменной $x$. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - (a - 2)x - 2a = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-(a-2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = (a-2)^2 + 8a = a^2 - 4a + 4 + 8a = a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$.

Поскольку $D = (a+2)^2 \ge 0$ при любом значении параметра $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{(a-2) \pm \sqrt{(a+2)^2}}{2} = \frac{a-2 \pm (a+2)}{2}$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{a-2 + a+2}{2} = \frac{2a}{2} = a$

$x_2 = \frac{a-2 - (a+2)}{2} = \frac{a-2 - a - 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, неравенство можно представить в виде $(x-a)(x+2) \ge 0$.

Графиком функции $y = (x-a)(x+2)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями (включая сами корни). Решение зависит от взаимного расположения корней $a$ и $-2$.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Если $a < -2$. Тогда корни на числовой оси располагаются в порядке $a$, $-2$. Решением неравенства будет $x \in (-\infty, a] \cup [-2, +\infty)$.

2. Если $a = -2$. В этом случае корни совпадают: $x_1 = x_2 = -2$. Неравенство принимает вид $(x+2)^2 \ge 0$. Это неравенство справедливо для любого действительного числа $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

3. Если $a > -2$. Тогда корни на числовой оси располагаются в порядке $-2$, $a$. Решением неравенства будет $x \in (-\infty, -2] \cup [a, +\infty)$.

Ответ: если $a < -2$, то $x \in (-\infty, a] \cup [-2, +\infty)$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, +\infty)$; если $a > -2$, то $x \in (-\infty, -2] \cup [a, +\infty)$.

2) $x^2 - 3ax + 2a^2 - a - 1 < 0$

Это квадратное неравенство относительно $x$. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3ax + (2a^2 - a - 1) = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 - a - 1) = 9a^2 - 8a^2 + 4a + 4 = a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$.

Поскольку $D = (a+2)^2 \ge 0$ при любом $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{3a \pm \sqrt{(a+2)^2}}{2} = \frac{3a \pm (a+2)}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{3a + (a+2)}{2} = \frac{4a+2}{2} = 2a+1$

$x_2 = \frac{3a - (a+2)}{2} = \frac{2a-2}{2} = a-1$

Неравенство можно переписать в виде $(x - (2a+1))(x - (a-1)) < 0$.

Графиком функции $y = (x - (2a+1))(x - (a-1))$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ находится строго между корнями. Для определения интервала необходимо сравнить корни $2a+1$ и $a-1$.

Сравним $2a+1$ и $a-1$:

$2a+1 > a-1 \Leftrightarrow a > -2$

$2a+1 = a-1 \Leftrightarrow a = -2$

$2a+1 < a-1 \Leftrightarrow a < -2$

Рассмотрим три возможных случая:

1. Если $a < -2$. Тогда $2a+1 < a-1$. Меньший корень равен $2a+1$, больший — $a-1$. Решением неравенства является интервал $x \in (2a+1, a-1)$.

2. Если $a = -2$. Корни совпадают: $x_1 = x_2 = -3$. Неравенство принимает вид $(x+3)^2 < 0$. Это неравенство не имеет действительных решений.

3. Если $a > -2$. Тогда $2a+1 > a-1$. Меньший корень равен $a-1$, больший — $2a+1$. Решением неравенства является интервал $x \in (a-1, 2a+1)$.

Ответ: если $a < -2$, то $x \in (2a+1, a-1)$; если $a = -2$, то решений нет; если $a > -2$, то $x \in (a-1, 2a+1)$.

126. Решите неравенство:

1) $|x^2 - x - 8| < 12;$

2) $|x^2 - 2x| \ge 3;$

3) $|x - 3|(x + 1) \ge 4x;$

4) $x^2 - 2|x| < 15;$

5) $x^2 - 7x + 12 > |x - 4|;$

6) $|x| \cdot |x - 3| + x - 2 < 0.$

1) $|x^2 - x - 8| < 12$

Данное неравенство равносильно двойному неравенству $-12 < x^2 - x - 8 < 12$. Это, в свою очередь, эквивалентно системе из двух неравенств:
$\begin{cases} x^2 - x - 8 < 12 \\ x^2 - x - 8 > -12 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$x^2 - x - 8 - 12 < 0$
$x^2 - x - 20 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 5$, $x_2 = -4$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 20$ направлены вверх, решение неравенства есть интервал между корнями: $x \in (-4, 5)$.
Решим второе неравенство:
$x^2 - x - 8 + 12 > 0$
$x^2 - x + 4 > 0$
Найдем дискриминант уравнения $x^2 - x + 4 = 0$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, квадратный трехчлен всегда положителен. Следовательно, это неравенство выполняется для всех $x \in (-\infty, +\infty)$.
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $(-4, 5) \cap (-\infty, +\infty) = (-4, 5)$.
Ответ: $x \in (-4, 5)$.

2) $|x^2 - 2x| \ge 3$

Неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$x^2 - 2x \ge 3$ или $x^2 - 2x \le -3$.
Решим первое неравенство:
$x^2 - 2x - 3 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства находится за пределами корней: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$x^2 - 2x + 3 \le 0$
Дискриминант уравнения $x^2 - 2x + 3 = 0$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение $x^2 - 2x + 3$ всегда положительно, и неравенство не имеет решений.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

3) $|x - 3|(x + 1) \ge 4x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
Тогда $|x - 3| = x - 3$. Неравенство принимает вид:
$(x - 3)(x + 1) \ge 4x$
$x^2 - 2x - 3 \ge 4x$
$x^2 - 6x - 3 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 - 6x - 3 = 0$: $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(-3)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{3}$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, 3 - 2\sqrt{3}] \cup [3 + 2\sqrt{3}, +\infty)$.
Учитывая условие $x \ge 3$, получаем решение для этого случая: $x \in [3 + 2\sqrt{3}, +\infty)$.
Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.
Тогда $|x - 3| = -(x - 3)$. Неравенство принимает вид:
$-(x - 3)(x + 1) \ge 4x$
$-x^2 + 2x + 3 \ge 4x$
$-x^2 - 2x + 3 \ge 0$
$x^2 + 2x - 3 \le 0$
Корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Решение неравенства: $x \in [-3, 1]$.
Это решение полностью удовлетворяет условию $x < 3$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in [-3, 1] \cup [3 + 2\sqrt{3}, +\infty)$.

4) $x^2 - 2|x| < 15$

Так как $x^2 = |x|^2$, неравенство можно переписать в виде $|x|^2 - 2|x| - 15 < 0$.
Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 2t - 15 < 0$
Корни уравнения $t^2 - 2t - 15 = 0$ равны $t_1 = 5$, $t_2 = -3$.
Решение неравенства для $t$: $t \in (-3, 5)$.
Учитывая, что $t \ge 0$, получаем $0 \le t < 5$.
Возвращаемся к переменной $x$: $0 \le |x| < 5$.
Неравенство $|x| < 5$ равносильно $-5 < x < 5$.
Ответ: $x \in (-5, 5)$.

5) $x^2 - 7x + 12 > |x - 4|$

Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x - 4) > |x - 4|$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$.
Тогда $|x - 4| = x - 4$. Неравенство принимает вид:
$(x - 3)(x - 4) > x - 4$
Поскольку $x - 4 > 0$, можем разделить обе части на $x - 4$:
$x - 3 > 1 \implies x > 4$.
Решение в этом случае $x \in (4, +\infty)$.
Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.
Тогда $|x - 4| = -(x - 4)$. Неравенство принимает вид:
$(x - 3)(x - 4) > -(x - 4)$
$(x - 3)(x - 4) + (x - 4) > 0$
$(x - 4)((x - 3) + 1) > 0$
$(x - 4)(x - 2) > 0$
Корни $x=2$ и $x=4$. Решение: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$.
Учитывая условие $x < 4$, получаем решение для этого случая: $x \in (-\infty, 2)$.
Случай 3: $x - 4 = 0$, то есть $x = 4$.
Подставляем в исходное неравенство: $0 > |0|$, что неверно.
Объединяя решения из случаев 1 и 2, получаем ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$.

6) $|x| \cdot |x - 3| + x - 2 < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $x=0$ и $x=3$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.
Случай 1: $x < 0$.
Тогда $|x| = -x$ и $|x - 3| = -(x - 3)$.
$(-x)(-(x - 3)) + x - 2 < 0$
$x(x - 3) + x - 2 < 0$
$x^2 - 3x + x - 2 < 0$
$x^2 - 2x - 2 < 0$
Корни уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-4(-2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Решение неравенства: $x \in (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$.
Пересекая с условием $x < 0$, получаем $x \in (1 - \sqrt{3}, 0)$.
Случай 2: $0 \le x < 3$.
Тогда $|x| = x$ и $|x - 3| = -(x - 3)$.
$x(-(x - 3)) + x - 2 < 0$
$-x^2 + 3x + x - 2 < 0$
$-x^2 + 4x - 2 < 0 \implies x^2 - 4x + 2 > 0$.
Корни уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, 2 - \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}, +\infty)$.
Пересекая с условием $0 \le x < 3$, получаем $x \in [0, 2 - \sqrt{2})$.
Случай 3: $x \ge 3$.
Тогда $|x| = x$ и $|x - 3| = x - 3$.
$x(x - 3) + x - 2 < 0$
$x^2 - 2x - 2 < 0$
Решение, как в первом случае: $x \in (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$.
Пересечение с условием $x \ge 3$ пусто, так как $1 + \sqrt{3} \approx 2.73 < 3$.
Объединяем решения из всех случаев: $(1 - \sqrt{3}, 0) \cup [0, 2 - \sqrt{2}) = (1 - \sqrt{3}, 2 - \sqrt{2})$.
Ответ: $x \in (1 - \sqrt{3}, 2 - \sqrt{2})$.

127. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} xy = -8, \\ x + y = -2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2 - 4x + 3, \\ y = x - 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y = 2, \\ x + y = 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = -x - 1; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 + (y - 1)^2 = 5, \\ x - 2y + 2 = 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3. \end{cases}$

1) Для решения системы $ \begin{cases} xy = -8 \\ x + y = -2 \end{cases} $ графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $xy = -8$, можно представить в виде функции $y = -8/x$. Графиком этой функции является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами служат оси координат. Для построения графика найдем несколько точек:

• при $x=2$, $y=-4$;
• при $x=4$, $y=-2$;
• при $x=-2$, $y=4$;
• при $x=-4$, $y=2$.

Второе уравнение, $x + y = -2$, можно представить в виде функции $y = -x - 2$. Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, точек пересечения с осями координат:

• при $x=0$, $y=-2$ (точка (0, -2));
• при $y=0$, $x=-2$ (точка (-2, 0)).

Построив оба графика, найдем их точки пересечения. Эти точки и являются решениями системы. Из графика видно, что графики пересекаются в точках с координатами $(2, -4)$ и $(-4, 2)$.

Ответ: $(2, -4)$, $(-4, 2)$.

2) Для решения системы $ \begin{cases} y = x^2 - 4x + 3 \\ y = x - 3 \end{cases} $ построим графики параболы и прямой.

Графиком первого уравнения $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: $x_в = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$, $y_в = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$. Вершина находится в точке $(2, -1)$. Найдем точки пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни $x_1=1$, $x_2=3$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Графиком второго уравнения $y = x - 3$ является прямая. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y=-3$ (точка (0, -3));
• при $x=3$, $y=0$ (точка (3, 0)).

Построим графики в одной системе координат. Точки пересечения графиков — это $(2, -1)$ и $(3, 0)$.

Ответ: $(2, -1)$, $(3, 0)$.

3) Для решения системы $ \begin{cases} x^2 - y = 2 \\ x + y = 4 \end{cases} $ преобразуем уравнения и построим их графики.

Первое уравнение можно записать как $y = x^2 - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -2)$.

Второе уравнение можно записать как $y = -x + 4$. Это прямая. Для ее построения найдем точки пересечения с осями:

• при $x=0$, $y=4$ (точка (0, 4));
• при $y=0$, $x=4$ (точка (4, 0)).

Построив параболу и прямую, находим их точки пересечения. По графику видно, что это точки $(2, 2)$ и $(-3, 7)$.

Ответ: $(2, 2)$, $(-3, 7)$.

4) Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = -x - 1 \end{cases} $ построим графики окружности и прямой.

Уравнение $x^2 + y^2 = 25$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Уравнение $y = -x - 1$ задает прямую. Построим ее по двум точкам, например, по точкам пересечения с осями:

• при $x=0$, $y=-1$ (точка (0, -1));
• при $y=0$, $x=-1$ (точка (-1, 0)).

Построим окружность и прямую в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках. Их координаты: $(3, -4)$ и $(-4, 3)$.

Ответ: $(3, -4)$, $(-4, 3)$.

5) Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + (y-1)^2 = 5 \\ x - 2y + 2 = 0 \end{cases} $ построим графики окружности и прямой.

Уравнение $x^2 + (y-1)^2 = 5$ задает окружность с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $r = \sqrt{5} \approx 2.24$.

Уравнение $x - 2y + 2 = 0$ можно переписать в виде $y = \frac{1}{2}x + 1$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y=1$ (точка (0, 1));
• при $x=-2$, $y=0$ (точка (-2, 0)).

Построим окружность и прямую. Заметим, что прямая проходит через центр окружности. Точки пересечения легко находятся из графика: $(-2, 0)$ и $(2, 2)$.

Ответ: $(-2, 0)$, $(2, 2)$.

6) Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases} $ построим графики окружности и гиперболы.

Уравнение $x^2 + y^2 = 10$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{10} \approx 3.16$.

Уравнение $xy = 3$ можно переписать в виде $y = 3/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Построим ее по точкам:

• при $x=1$, $y=3$;
• при $x=3$, $y=1$;
• при $x=-1$, $y=-3$;
• при $x=-3$, $y=-1$.

Построим графики в одной системе координат. Окружность и гипербола пересекаются в четырех точках. Их координаты: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

128. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = 3 - x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2 + 2, \\ y = 5 - 2x^2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = 3 - x^2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} xy = 6, \\ y = \frac{1}{3}x^2 - 4; \end{cases}$

5) $\begin{cases} (x - 2)^2 + y^2 = 4, \\ y = 4 - 3x^2; \end{cases}$

6) $\begin{cases} |y| = x, \\ y = -x^2 + 2x + 3. \end{cases}$

1) Для определения количества решений системы построим графики каждого уравнения в одной системе координат.
График первого уравнения $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти, с вершиной в начале координат. Область определения: $x \ge 0$.
График второго уравнения $y = 3 - x$ — это прямая, проходящая через точки (0, 3) и (3, 0).
При построении видно, что графики пересекаются в одной точке.
Ответ: 1

2) Построим графики каждого уравнения.
График первого уравнения $y = x^2 + 2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0, 2).
График второго уравнения $y = 5 - 2x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 5).
Так как одна парабола открывается вверх, а другая — вниз, и вершина второй параболы находится выше вершины первой, графики пересекутся в двух точках, симметричных относительно оси OY.
Ответ: 2

3) Построим графики каждого уравнения.
График первого уравнения $x^2 + y^2 = 9$ — это окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.
График второго уравнения $y = 3 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 3).
Вершина параболы (0, 3) лежит на окружности. Поскольку ветви параболы направлены вниз (внутрь окружности), она пересечет окружность еще в двух точках, симметричных относительно оси OY. Всего получается три точки пересечения.
Ответ: 3

4) Построим графики каждого уравнения.
График первого уравнения $xy = 6$, или $y = \frac{6}{x}$, — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях.
График второго уравнения $y = \frac{1}{3}x^2 - 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0, -4).
Ветвь гиперболы в третьей четверти (где $x < 0$ и $y < 0$) и левая ветвь параболы (где $x < 0$) не пересекаются, так как парабола при $x < 0$ всегда находится выше, чем ветвь гиперболы.
Ветвь гиперболы в первой четверти (где $x > 0$ и $y > 0$) и правая ветвь параболы (где $x > 0$) пересекаются в одной точке.
Таким образом, система имеет одно решение.
Ответ: 1

5) Построим графики каждого уравнения.
График первого уравнения $(x - 2)^2 + y^2 = 4$ — это окружность с центром в точке (2, 0) и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Окружность касается оси OY в точке (0,0) и расположена в правой полуплоскости ($x \ge 0$).
График второго уравнения $y = 4 - 3x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 4).
Поскольку окружность находится в правой полуплоскости, нас интересует пересечение с правой ветвью параболы. Вершина параболы (0, 4) находится "над" окружностью. Ветви параболы идут вниз и пересекают окружность в двух точках.
Ответ: 2

6) Построим графики каждого уравнения.
График первого уравнения $|y| = x$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x \ge 0$. График представляет собой "уголок", открытый вправо.
График второго уравнения $y = -x^2 + 2x + 3$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{2}{2(-1)} = 1$, $y = -1^2 + 2(1) + 3 = 4$. Вершина: (1, 4).
Парабола пересекает луч $y = x$ в одной точке в первой четверти.
Парабола пересекает луч $y = -x$ в одной точке в четвертой четверти.
Всего получается две точки пересечения.
Ответ: 2