Номер 124, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Для каждого значения a решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} x^2 + x - 6 < 0, \\ x \ge a; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + 9x + 8 \ge 0, \\ x < a. \end{cases} $

1)

Решим первое неравенство системы $x^2 + x - 6 < 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями, то есть $x \in (-3, 2)$.

Теперь необходимо найти пересечение полученного интервала $(-3, 2)$ с решением второго неравенства $x \ge a$. Результат зависит от положения точки $a$ на числовой оси относительно интервала $(-3, 2)$.

1. Если $a$ находится правее или совпадает с правым концом интервала, то есть $a \ge 2$, то множество $x \ge a$ не имеет общих точек с интервалом $(-3, 2)$. В этом случае система не имеет решений.

2. Если $a$ находится между концами интервала, то есть $-3 < a < 2$, то пересечением множеств $(-3, 2)$ и $[a, +\infty)$ является полуинтервал $[a, 2)$.

3. Если $a$ находится левее левого конца интервала или совпадает с ним, то есть $a \le -3$, то все точки интервала $(-3, 2)$ удовлетворяют условию $x > -3$, а значит и условию $x \ge a$. Следовательно, решением системы будет весь интервал $(-3, 2)$.

Ответ: если $a \le -3$, то $x \in (-3, 2)$; если $-3 < a < 2$, то $x \in [a, 2)$; если $a \ge 2$, то решений нет.

2)

Решим первое неравенство системы $x^2 + 9x + 8 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 9x + 8 = 0$. По теореме Виета корни равны $x_1 = -8$ и $x_2 = -1$. Так как ветви параболы $y = x^2 + 9x + 8$ направлены вверх, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне отрезка между корнями (включая сами корни). Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -8] \cup [-1, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого множества с решением второго неравенства $x < a$. Рассмотрим различные положения точки $a$ относительно ключевых точек $-8$ и $-1$.

1. Если $a \le -8$, то интервал $(-\infty, a)$ целиком содержится в луче $(-\infty, -8]$. Их пересечение и будет решением системы: $(-\infty, a)$.

2. Если $-8 < a \le -1$, то интервал $(-\infty, a)$ полностью включает в себя луч $(-\infty, -8]$, но не пересекается с лучом $[-1, +\infty)$, так как все его точки строго меньше $-1$. В этом случае решением системы будет луч $(-\infty, -8]$.

3. Если $a > -1$, то интервал $(-\infty, a)$ включает в себя луч $(-\infty, -8]$ и пересекается с лучом $[-1, +\infty)$. Пересечение $(-\infty, a)$ с $[-1, +\infty)$ дает полуинтервал $[-1, a)$. Таким образом, общее решение системы — это объединение $(-\infty, -8] \cup [-1, a)$.

Ответ: если $a \le -8$, то $x \in (-\infty, a)$; если $-8 < a \le -1$, то $x \in (-\infty, -8]$; если $a > -1$, то $x \in (-\infty, -8] \cup [-1, a)$.