Номер 130, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

1) прямой $y=1-5x$ и параболы $y=x^2+x-6$;

2) прямой $x-y-5=0$ и окружности $(x-3)^2+(y+1)^2=13$;

3) прямой $y=-3x+10$ и окружности $x^2+y^2=10$;

4) парабол $y=4x^2+4x+1$ и $y=-2x^2-4x-3$.

1) Чтобы найти точки пересечения, необходимо решить систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 1 - 5x \\ y = x^2 + x - 6 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:
$1 - 5x = x^2 + x - 6$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + x - 6 - 1 + 5x = 0$
$x^2 + 6x - 7 = 0$
Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-6$, а произведение равно $-7$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в уравнение прямой $y = 1 - 5x$:
При $x_1 = 1$:
$y_1 = 1 - 5(1) = 1 - 5 = -4$
Первая точка пересечения: $(1; -4)$.
При $x_2 = -7$:
$y_2 = 1 - 5(-7) = 1 + 35 = 36$
Вторая точка пересечения: $(-7; 36)$.
Ответ: (1; -4) и (-7; 36).

2) Нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} x - y - 5 = 0 \\ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 13 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = x - 5$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$(x - 3)^2 + ((x - 5) + 1)^2 = 13$
$(x - 3)^2 + (x - 4)^2 = 13$
Раскроем скобки:
$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 8x + 16) = 13$
$2x^2 - 14x + 25 = 13$
$2x^2 - 14x + 12 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 - 7x + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = x - 5$:
При $x_1 = 1$:
$y_1 = 1 - 5 = -4$
Первая точка пересечения: $(1; -4)$.
При $x_2 = 6$:
$y_2 = 6 - 5 = 1$
Вторая точка пересечения: $(6; 1)$.
Ответ: (1; -4) и (6; 1).

3) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = -3x + 10 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} $
Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x^2 + (-3x + 10)^2 = 10$
Раскроем скобки:
$x^2 + (9x^2 - 60x + 100) = 10$
$10x^2 - 60x + 100 - 10 = 0$
$10x^2 - 60x + 90 = 0$
Разделим уравнение на 10:
$x^2 - 6x + 9 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(x - 3)^2 = 0$
Уравнение имеет один корень: $x = 3$.
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = -3(3) + 10 = -9 + 10 = 1$
Существует только одна точка пересечения, что означает, что прямая является касательной к окружности.
Ответ: (3; 1).

4) Чтобы найти точки пересечения двух парабол, решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 4x^2 + 4x + 1 \\ y = -2x^2 - 4x - 3 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$4x^2 + 4x + 1 = -2x^2 - 4x - 3$
Перенесем все члены в левую часть:
$4x^2 + 2x^2 + 4x + 4x + 1 + 3 = 0$
$6x^2 + 8x + 4 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$3x^2 + 4x + 2 = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8$
Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что параболы не пересекаются.
Ответ: точек пересечения нет.