Номер 136, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Два поезда отправились одновременно от станций A и B навстречу друг другу, и после встречи каждый продолжил движение в первоначальном направлении. Первый из них, скорость которого на 10 км/ч меньше скорости второго, прибыл на станцию B через 3 ч 36 мин после встречи, а второй на станцию A — через 2 ч 30 мин после встречи. Найдите скорость, с которой двигался каждый поезд. Через какое время после начала движения состоялась встреча?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_1$ – скорость первого поезда (км/ч).
• $v_2$ – скорость второго поезда (км/ч).
• $t$ – время от начала движения до встречи (ч).
• $t_1$ – время, которое первый поезд ехал после встречи до станции $B$.
• $t_2$ – время, которое второй поезд ехал после встречи до станции $A$.

Из условия задачи нам известно:

• $v_1 = v_2 - 10$
• $t_1 = 3$ ч $36$ мин $= 3 + \frac{36}{60} = 3.6$ ч
• $t_2 = 2$ ч $30$ мин $= 2 + \frac{30}{60} = 2.5$ ч

Пусть поезда встретились в точке $C$. Расстояние от станции $A$ до точки $C$ первый поезд проехал за время $t$, то есть $S_{AC} = v_1 \cdot t$. Это же расстояние второй поезд проехал после встречи за время $t_2$, то есть $S_{AC} = v_2 \cdot t_2$.

Расстояние от станции $B$ до точки $C$ второй поезд проехал за время $t$, то есть $S_{BC} = v_2 \cdot t$. Это же расстояние первый поезд проехал после встречи за время $t_1$, то есть $S_{BC} = v_1 \cdot t_1$.

Таким образом, мы имеем систему уравнений:

$v_1 \cdot t = v_2 \cdot t_2$

$v_2 \cdot t = v_1 \cdot t_1$

Найдите скорость, с которой двигался каждый поезд.

Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{v_1 \cdot t}{v_2 \cdot t} = \frac{v_2 \cdot t_2}{v_1 \cdot t_1}$

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{v_2 \cdot t_2}{v_1 \cdot t_1}$

Перемножим крест-накрест:

$v_1^2 \cdot t_1 = v_2^2 \cdot t_2$

Отсюда получим соотношение квадратов скоростей:

$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{t_2}{t_1}$

Тогда соотношение скоростей равно:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}$

Подставим известные значения $t_1$ и $t_2$:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{2.5}{3.6}} = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$

Мы получили соотношение $v_1 = \frac{5}{6}v_2$. Теперь используем условие, что $v_1 = v_2 - 10$:

$\frac{5}{6}v_2 = v_2 - 10$

$v_2 - \frac{5}{6}v_2 = 10$

$\frac{1}{6}v_2 = 10$

$v_2 = 60$ км/ч

Теперь найдем скорость первого поезда:

$v_1 = v_2 - 10 = 60 - 10 = 50$ км/ч

Ответ: скорость первого поезда – 50 км/ч, скорость второго поезда – 60 км/ч.

Через какое время после начала движения состоялась встреча?

Для нахождения времени до встречи $t$, воспользуемся одним из уравнений нашей системы, например, $v_1 \cdot t = v_2 \cdot t_2$:

$t = \frac{v_2 \cdot t_2}{v_1}$

Подставим найденные скорости и известное время $t_2$:

$t = \frac{60 \cdot 2.5}{50} = \frac{6 \cdot 2.5}{5} = \frac{15}{5} = 3$ ч

Можно также получить общую формулу для времени встречи, перемножив два исходных уравнения системы:

$(v_1 t) \cdot (v_2 t) = (v_2 t_2) \cdot (v_1 t_1)$

$v_1 v_2 t^2 = v_1 v_2 t_1 t_2$

$t^2 = t_1 t_2 \implies t = \sqrt{t_1 t_2}$

Подставив значения, получим тот же результат:

$t = \sqrt{3.6 \cdot 2.5} = \sqrt{9} = 3$ ч

Ответ: встреча состоялась через 3 часа после начала движения.