Номер 141, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. Если открыть одновременно две трубы, то бассейн будет наполнен водой за 7 ч 12 мин. Когда сначала открыли на 8 ч первую трубу, а потом открыли вторую, то бассейн был заполнен через 4 ч после открытия второй трубы. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?

Пусть $x$ — время в часах, за которое первая труба может наполнить бассейн, работая отдельно, а $y$ — время в часах, за которое вторая труба может наполнить бассейн, работая отдельно.

Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы равна $1/x$ бассейна в час, а производительность второй трубы — $1/y$ бассейна в час. Их совместная производительность составляет $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ бассейна в час.

1. Составление первого уравнения.

Из первого условия задачи известно, что при одновременной работе двух труб бассейн наполняется за 7 часов 12 минут. Переведем это время в часы:
$7 \text{ ч } 12 \text{ мин} = 7 + \frac{12}{60} \text{ ч} = 7 + \frac{1}{5} \text{ ч} = \frac{35}{5} + \frac{1}{5} = \frac{36}{5} \text{ ч}$.

Так как работа (наполнение одного бассейна) равна произведению производительности на время, получаем первое уравнение:
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot \frac{36}{5} = 1$
Отсюда, $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{36}$.

2. Составление второго уравнения.

Из второго условия задачи, сначала первая труба работала 8 часов, а затем открыли вторую, и бассейн был заполнен через 4 часа. Это означает, что первая труба работала в общей сложности $8 + 4 = 12$ часов, а вторая труба работала 4 часа. Вместе они заполнили весь бассейн (выполнили 1 единицу работы). Составим второе уравнение, сложив объемы работы, выполненные каждой трубой:
$\frac{1}{x} \cdot 12 + \frac{1}{y} \cdot 4 = 1$
$\frac{12}{x} + \frac{4}{y} = 1$.

3. Решение системы уравнений.

Получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{36} \\ \frac{12}{x} + \frac{4}{y} = 1 \end{cases}$

Для удобства решения введем замены: пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Система примет вид:
$\begin{cases} u + v = \frac{5}{36} \\ 12u + 4v = 1 \end{cases}$

Выразим $v$ из первого уравнения: $v = \frac{5}{36} - u$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$12u + 4(\frac{5}{36} - u) = 1$
$12u + \frac{20}{36} - 4u = 1$
$8u + \frac{5}{9} = 1$
$8u = 1 - \frac{5}{9}$
$8u = \frac{4}{9}$
$u = \frac{4}{9 \cdot 8} = \frac{1}{18}$

Теперь найдем $v$:
$v = \frac{5}{36} - u = \frac{5}{36} - \frac{1}{18} = \frac{5}{36} - \frac{2}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

Выполним обратную замену:
Если $u = \frac{1}{x} = \frac{1}{18}$, то $x = 18$.
Если $v = \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$, то $y = 12$.

Таким образом, первая труба наполняет бассейн за 18 часов, а вторая — за 12 часов.

Ответ: первая труба может наполнить бассейн за 18 часов, а вторая труба — за 12 часов.