Номер 147, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. Из городов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 280 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Первый автомобиль приехал в город $B$ через 1 ч 30 мин после встречи, а второй в город $A$ — через 2 ч 40 мин после встречи. Найдите, с какой скоростью двигался каждый автомобиль и через какое время после начала движения состоялась их встреча.

Обозначим искомые величины:

• $v_1$ – скорость первого автомобиля (выехавшего из города А), км/ч.
• $v_2$ – скорость второго автомобиля (выехавшего из города В), км/ч.
• $t$ – время от начала движения до момента встречи, ч.

Общее расстояние между городами $S = 280$ км. Переведем время, данное в условии, в часы:

• Время движения первого автомобиля после встречи: $t_1 = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1.5 \text{ ч}$.
• Время движения второго автомобиля после встречи: $t_2 = 2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{8}{3} \text{ ч}$.

До момента встречи первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$, а второй — $S_2 = v_2 \cdot t$. Вместе они проехали все расстояние: $v_1 t + v_2 t = 280$.

После встречи первый автомобиль проехал оставшееся расстояние $S_2$ за время $t_1$. Таким образом, $S_2 = v_1 \cdot t_1$. Второй автомобиль после встречи проехал расстояние $S_1$ за время $t_2$. Таким образом, $S_1 = v_2 \cdot t_2$.

Составим систему уравнений, подставив выражения для $S_1$ и $S_2$:
$v_1 t = v_2 t_2$
$v_2 t = v_1 t_1$

Из первого уравнения выразим отношение скоростей: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t}$. Из второго уравнения также выразим отношение скоростей: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{t_1}$. Приравняем правые части этих выражений:
$\frac{t_2}{t} = \frac{t}{t_1}$
Отсюда получаем: $t^2 = t_1 \cdot t_2$.

Теперь мы можем найти время до встречи.

Через какое время после начала движения состоялась их встреча

Подставим числовые значения $t_1$ и $t_2$ в полученную формулу:
$t = \sqrt{t_1 \cdot t_2} = \sqrt{1.5 \cdot \frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{24}{6}} = \sqrt{4} = 2$ часа.
Встреча состоялась через 2 часа после начала движения.
Ответ: 2 часа.

С какой скоростью двигался каждый автомобиль

Весь путь первого автомобиля от А до В занял время $T_1 = t + t_1$. Его скорость равна:
$v_1 = \frac{S}{T_1} = \frac{S}{t + t_1}$
$v_1 = \frac{280}{2 + 1.5} = \frac{280}{3.5} = \frac{2800}{35} = 80$ км/ч.

Весь путь второго автомобиля от В до А занял время $T_2 = t + t_2$. Его скорость равна:
$v_2 = \frac{S}{T_2} = \frac{S}{t + t_2}$
$v_2 = \frac{280}{2 + \frac{8}{3}} = \frac{280}{\frac{6}{3} + \frac{8}{3}} = \frac{280}{\frac{14}{3}} = \frac{280 \cdot 3}{14} = 20 \cdot 3 = 60$ км/ч.
Скорость первого автомобиля — 80 км/ч, скорость второго — 60 км/ч.
Ответ: скорость первого автомобиля 80 км/ч, скорость второго автомобиля 60 км/ч.