Номер 151, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

151. В 2010 году в некотором городе проживало 60 000 жителей, а в 2012 году — 66 150 жителей. На сколько процентов ежегодно увеличивалось население этого города?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сложных процентов. Пусть $N_0$ — начальная численность населения, $N_n$ — численность населения через $n$ лет, а $p$ — ежегодный процент прироста. Формула выглядит так:
$N_n = N_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

По условию задачи нам дано:

• Начальная численность населения в 2010 году ($N_0$) = 60 000 жителей.
• Конечная численность населения в 2012 году ($N_2$) = 66 150 жителей.
• Период времени ($n$) = 2012 - 2010 = 2 года.

Нам нужно найти ежегодный процент увеличения населения $p$.

Подставим известные значения в формулу:
$66150 = 60000 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Теперь решим это уравнение относительно $p$. Сначала разделим обе части уравнения на 60 000:
$\frac{66150}{60000} = \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Упростим левую часть:
$\frac{66150}{60000} = 1.1025$

Наше уравнение принимает вид:
$1.1025 = \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Чтобы найти выражение в скобках, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку население увеличивалось, нас интересует только положительное значение корня.
$\sqrt{1.1025} = 1 + \frac{p}{100}$
$1.05 = 1 + \frac{p}{100}$

Теперь найдем $p$:
$\frac{p}{100} = 1.05 - 1$
$\frac{p}{100} = 0.05$
$p = 0.05 \cdot 100$
$p = 5$

Таким образом, население города ежегодно увеличивалось на 5%.

Ответ: 5%.