Номер 144, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. По двум окружностям равных диаметров равномерно вращаются две точки. Одна из них выполняет полный оборот на 2,5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать за 1 мин на 4 оборота больше. Сколько оборотов в минуту делает каждая точка?

Пусть $t_1$ — время в секундах, за которое первая (более быстрая) точка совершает один полный оборот, а $t_2$ — время в секундах для второй (более медленной) точки.

Согласно условию, первая точка выполняет полный оборот на 2,5 секунды быстрее, чем вторая. Математически это можно записать так:

$t_2 - t_1 = 2.5$

Отсюда можно выразить $t_2$:

$t_2 = t_1 + 2.5$

Теперь рассмотрим количество оборотов в минуту. Пусть $n_1$ — количество оборотов в минуту для первой точки, а $n_2$ — для второй.

По условию, за 1 минуту первая точка успевает сделать на 4 оборота больше, чем вторая:

$n_1 - n_2 = 4$

Количество оборотов в минуту ($n$) связано со временем одного оборота в секундах ($t$). В одной минуте 60 секунд. Таким образом, если точка делает один оборот за $t$ секунд, то за 60 секунд она сделает $60/t$ оборотов.

$n_1 = \frac{60}{t_1}$

$n_2 = \frac{60}{t_2}$

Подставим эти выражения в уравнение разности оборотов:

$\frac{60}{t_1} - \frac{60}{t_2} = 4$

Теперь подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $t_2$ ($t_2 = t_1 + 2.5$):

$\frac{60}{t_1} - \frac{60}{t_1 + 2.5} = 4$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его части на 4:

$\frac{15}{t_1} - \frac{15}{t_1 + 2.5} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $t_1(t_1 + 2.5)$:

$\frac{15(t_1 + 2.5) - 15t_1}{t_1(t_1 + 2.5)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{15t_1 + 37.5 - 15t_1}{t_1^2 + 2.5t_1} = 1$

$\frac{37.5}{t_1^2 + 2.5t_1} = 1$

Отсюда следует, что знаменатель равен числителю:

$t_1^2 + 2.5t_1 = 37.5$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t_1^2 + 2.5t_1 - 37.5 = 0$

Для удобства расчетов умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$2t_1^2 + 5t_1 - 75 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-75) = 25 + 600 = 625$

$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 25}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 25}{4}$

$t_{1,1} = \frac{-5 + 25}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$t_{1,2} = \frac{-5 - 25}{4} = \frac{-30}{4} = -7.5$

Так как время не может быть отрицательной величиной, единственное подходящее решение: $t_1 = 5$ секунд.

Теперь найдем время для второй точки:

$t_2 = t_1 + 2.5 = 5 + 2.5 = 7.5$ секунд.

Наконец, найдем количество оборотов в минуту для каждой точки, используя формулы $n_1 = 60/t_1$ и $n_2 = 60/t_2$.

Количество оборотов в минуту для первой точки:

$n_1 = \frac{60}{5} = 12$ оборотов/мин

Количество оборотов в минуту для второй точки:

$n_2 = \frac{60}{7.5} = \frac{600}{75} = 8$ оборотов/мин

Проверим результат: разница в количестве оборотов в минуту составляет $12 - 8 = 4$, что соответствует условию задачи.

Ответ: первая (быстрая) точка делает 12 оборотов в минуту, а вторая (медленная) точка делает 8 оборотов в минуту.