Номер 142, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми равно 300 км, выехал грузовик со скоростью 40 км/ч. Через 1 ч после этого из города $A$ в город $B$ выехал легковой автомобиль, который догнал грузовик, и водителю грузовика было передано распоряжение вернуться в $A$. После этого легковой автомобиль продолжил двигаться с той же скоростью и прибыл в $B$ одновременно с возвращением грузовика в $A$. Найдите скорость легкового автомобиля.

Пусть $S$ — расстояние между городами А и В, $v_г$ — скорость грузовика, $v_л$ — искомая скорость легкового автомобиля.
По условию задачи:
$S = 300$ км,
$v_г = 40$ км/ч.

1. Этап 1: Движение до встречи.
Грузовик выехал из города А на 1 час раньше легкового автомобиля. За этот час он проехал расстояние:
$S_{форы} = v_г \cdot 1\text{ ч} = 40 \text{ км/ч} \cdot 1\text{ ч} = 40$ км.
Когда легковой автомобиль выехал из А, грузовик был уже на расстоянии 40 км от него. Легковой автомобиль начал догонять грузовик. Скорость сближения равна разности их скоростей: $v_{сбл} = v_л - v_г = v_л - 40$ км/ч. (Очевидно, что $v_л > 40$ км/ч, иначе догнать грузовик было бы невозможно).
Время, которое потребовалось легковому автомобилю, чтобы догнать грузовик с момента своего выезда:
$t_{встречи} = \frac{S_{форы}}{v_{сбл}} = \frac{40}{v_л - 40}$ ч.

2. Место встречи.
Найдем расстояние от города А до места встречи. Это расстояние проехал легковой автомобиль за время $t_{встречи}$:
$S_{встречи} = v_л \cdot t_{встречи} = v_л \cdot \frac{40}{v_л - 40} = \frac{40v_л}{v_л - 40}$ км.

3. Этап 2: Движение после встречи.
После встречи грузовик развернулся и поехал обратно в город А. Расстояние, которое он должен был проехать, равно $S_{встречи}$. Время его возвращения:
$t_{возврата\_г} = \frac{S_{встречи}}{v_г} = \frac{S_{встречи}}{40}$ ч.
Легковой автомобиль продолжил движение в город В. Расстояние, которое ему осталось проехать:
$S_{ост\_л} = S - S_{встречи} = 300 - S_{встречи}$ км.
Время его пути до города В:
$t_{прибытия\_л} = \frac{S_{ост\_л}}{v_л} = \frac{300 - S_{встречи}}{v_л}$ ч.

4. Составление и решение уравнения.
По условию, легковой автомобиль прибыл в В одновременно с возвращением грузовика в А. Это значит, что время их движения после встречи одинаково:
$t_{возврата\_г} = t_{прибытия\_л}$
$\frac{S_{встречи}}{40} = \frac{300 - S_{встречи}}{v_л}$
Подставим в это уравнение выражение для $S_{встречи}$, которое мы нашли ранее:
$\frac{\frac{40v_л}{v_л - 40}}{40} = \frac{300 - \frac{40v_л}{v_л - 40}}{v_л}$
Упростим левую часть:
$\frac{40v_л}{40(v_л - 40)} = \frac{v_л}{v_л - 40}$
Теперь приравняем левую и правую части:
$\frac{v_л}{v_л - 40} = \frac{300 - \frac{40v_л}{v_л - 40}}{v_л}$
Домножим обе части на $v_л(v_л - 40)$, так как $v_л \neq 0$ и $v_л \neq 40$:
$v_л^2 = (v_л - 40) \cdot (300 - \frac{40v_л}{v_л - 40})$
$v_л^2 = 300(v_л - 40) - \frac{40v_л(v_л - 40)}{v_л - 40}$
$v_л^2 = 300v_л - 12000 - 40v_л$
$v_л^2 = 260v_л - 12000$
Получили квадратное уравнение:
$v_л^2 - 260v_л + 12000 = 0$
Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-260)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12000 = 67600 - 48000 = 19600$
$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$
Найдем корни уравнения:
$v_{л1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{260 - 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$v_{л2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{260 + 140}{2} = \frac{400}{2} = 200$

5. Проверка.
Оба корня больше 40 км/ч, поэтому оба могут быть решением. Проверим каждый из них.
Случай 1: $v_л = 60$ км/ч.
Время до встречи: $t_{встречи} = \frac{40}{60 - 40} = 2$ ч.
Место встречи от А: $S_{встречи} = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120$ км.
Время возвращения грузовика: $t_{возврата\_г} = \frac{120 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = 3$ ч.
Время прибытия легкового автомобиля: $t_{прибытия\_л} = \frac{300 - 120 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = \frac{180}{60} = 3$ ч.
Время совпадает, следовательно, скорость 60 км/ч является верным решением.
Случай 2: $v_л = 200$ км/ч.
Время до встречи: $t_{встречи} = \frac{40}{200 - 40} = \frac{40}{160} = 0.25$ ч.
Место встречи от А: $S_{встречи} = 200 \text{ км/ч} \cdot 0.25 \text{ ч} = 50$ км.
Время возвращения грузовика: $t_{возврата\_г} = \frac{50 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = 1.25$ ч.
Время прибытия легкового автомобиля: $t_{прибытия\_л} = \frac{300 - 50 \text{ км}}{200 \text{ км/ч}} = \frac{250}{200} = 1.25$ ч.
Время совпадает, следовательно, скорость 200 км/ч также является верным решением.
Задача имеет два решения.

Ответ: 60 км/ч или 200 км/ч.