Номер 135, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Для перевозки 15 т груза вместо автомобиля определённой грузоподъёмности взяли другой автомобиль, грузоподъёмность которого на 2 т больше, чем первого. Поэтому для перевозки груза понадобилось на 2 рейса меньше, чем планировалось. Какова грузоподъёмность автомобиля, который перевёз груз?

Пусть $x$ (т) — грузоподъёмность первого автомобиля, который планировалось использовать. Тогда количество рейсов, которое ему понадобилось бы для перевозки 15 т груза, составляет $\frac{15}{x}$.

Взяли другой автомобиль, грузоподъёмность которого на 2 т больше, то есть она равна $(x+2)$ т. Этому автомобилю для перевозки 15 т груза понадобилось $\frac{15}{x+2}$ рейсов.

По условию задачи, количество рейсов второго автомобиля было на 2 меньше, чем у первого. На основании этого составим уравнение:

$\frac{15}{x} - \frac{15}{x+2} = 2$

Для решения приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x+2)$. Учитываем, что по смыслу задачи $x>0$.

$\frac{15(x+2) - 15x}{x(x+2)} = 2$

$\frac{15x + 30 - 15x}{x^2 + 2x} = 2$

$\frac{30}{x^2 + 2x} = 2$

Из пропорции следует:

$2(x^2 + 2x) = 30$

$x^2 + 2x = 15$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант или по теореме Виета.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -15$

Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Так как грузоподъёмность автомобиля ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, грузоподъёмность первого автомобиля составляет 3 т.

Вопрос задачи — найти грузоподъёмность автомобиля, который перевёз груз. Это второй автомобиль, грузоподъёмность которого равна $x+2$.

$3 + 2 = 5$ (т).

Проверим решение:

Планируемое количество рейсов: $\frac{15}{3} = 5$ рейсов.

Фактическое количество рейсов: $\frac{15}{5} = 3$ рейса.

Разница составляет $5 - 3 = 2$ рейса, что соответствует условию.

Ответ: 5 т.