Номер 131, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 49, \\ x - y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x^2 - 4xy + y^2 = 9, \\ 3x^2 + 2xy - y^2 = 36; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - xy = -8, \\ y^2 - xy = 24; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 5x^2 + 3y^2 = 18, \\ 5x^2 - 3y^2 = 12; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 4xy - y = -40, \\ 5x - 4xy = 27; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + 25y^2 = 29, \\ xy = 2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 49 \\ x - y = 3 \end{cases} $

Первое уравнение является полным квадратом суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Таким образом, $(x+y)^2 = 49$, откуда следует, что $x+y=7$ или $x+y=-7$.

Рассмотрим два случая:

Случай A:

$ \begin{cases} x+y = 7 \\ x-y = 3 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 7+3$, что дает $2x = 10$, и $x=5$.

Подставим $x=5$ во второе уравнение: $5-y=3$, откуда $y=2$.

Получаем решение $(5, 2)$.

Случай B:

$ \begin{cases} x+y = -7 \\ x-y = 3 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = -7+3$, что дает $2x = -4$, и $x=-2$.

Подставим $x=-2$ во второе уравнение: $-2-y=3$, откуда $y=-5$.

Получаем решение $(-2, -5)$.

Ответ: $(5, 2); (-2, -5)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x^2 - 4xy + y^2 = 9 \\ 3x^2 + 2xy - y^2 = 36 \end{cases} $

Первое уравнение является полным квадратом разности: $4x^2 - 4xy + y^2 = (2x-y)^2$.

Таким образом, $(2x-y)^2 = 9$, откуда следует, что $2x-y=3$ или $2x-y=-3$.

Выразим $y$: $y=2x-3$ или $y=2x+3$.

Случай A: $y=2x-3$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3x^2 + 2x(2x-3) - (2x-3)^2 = 36$

$3x^2 + 4x^2 - 6x - (4x^2 - 12x + 9) = 36$

$3x^2 + 6x - 45 = 0$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 2(3) - 3 = 3$. Решение $(3, 3)$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = 2(-5) - 3 = -13$. Решение $(-5, -13)$.

Случай B: $y=2x+3$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3x^2 + 2x(2x+3) - (2x+3)^2 = 36$

$3x^2 + 4x^2 + 6x - (4x^2 + 12x + 9) = 36$

$3x^2 - 6x - 45 = 0$

$x^2 - 2x - 15 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_3 = 5$ и $x_4 = -3$.

Если $x_3 = 5$, то $y_3 = 2(5) + 3 = 13$. Решение $(5, 13)$.

Если $x_4 = -3$, то $y_4 = 2(-3) + 3 = -3$. Решение $(-3, -3)$.

Ответ: $(3, 3); (-5, -13); (5, 13); (-3, -3)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - xy = -8 \\ y^2 - xy = 24 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = -8 + 24$, что дает $x^2 - 2xy + y^2 = 16$.

Это выражение является полным квадратом: $(x-y)^2 = 16$. Отсюда $x-y=4$ или $x-y=-4$.

Вычтем первое уравнение из второго: $(y^2 - xy) - (x^2 - xy) = 24 - (-8)$, что дает $y^2 - x^2 = 32$.

Разложим на множители: $(y-x)(y+x) = 32$.

Рассмотрим два случая:

Случай A: $x-y=4$, что эквивалентно $y-x=-4$.

Подставим в уравнение $(y-x)(y+x) = 32$: $-4(y+x) = 32$, откуда $y+x=-8$.

Решим систему: $ \begin{cases} y-x = -4 \\ y+x = -8 \end{cases} $. Сложение уравнений дает $2y=-12$, т.е. $y=-6$. Тогда $x=-2$. Решение $(-2, -6)$.

Случай B: $x-y=-4$, что эквивалентно $y-x=4$.

Подставим в уравнение $(y-x)(y+x) = 32$: $4(y+x) = 32$, откуда $y+x=8$.

Решим систему: $ \begin{cases} y-x = 4 \\ y+x = 8 \end{cases} $. Сложение уравнений дает $2y=12$, т.е. $y=6$. Тогда $x=2$. Решение $(2, 6)$.

Ответ: $(-2, -6); (2, 6)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x^2 + 3y^2 = 18 \\ 5x^2 - 3y^2 = 12 \end{cases} $

Это система линейных уравнений относительно $x^2$ и $y^2$.

Сложим два уравнения: $(5x^2 + 3y^2) + (5x^2 - 3y^2) = 18 + 12$, что дает $10x^2 = 30$, откуда $x^2=3$.

Следовательно, $x = \sqrt{3}$ или $x = -\sqrt{3}$.

Вычтем второе уравнение из первого: $(5x^2 + 3y^2) - (5x^2 - 3y^2) = 18 - 12$, что дает $6y^2 = 6$, откуда $y^2=1$.

Следовательно, $y = 1$ или $y = -1$.

Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре решения.

Ответ: $(\sqrt{3}, 1); (\sqrt{3}, -1); (-\sqrt{3}, 1); (-\sqrt{3}, -1)$.

5)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4xy - y = -40 \\ 5x - 4xy = 27 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $(4xy - y) + (5x - 4xy) = -40 + 27$, что дает $5x-y=-13$.

Выразим $y$: $y = 5x+13$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$4x(5x+13) - (5x+13) = -40$

$20x^2 + 52x - 5x - 13 = -40$

$20x^2 + 47x + 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 47^2 - 4 \cdot 20 \cdot 27 = 2209 - 2160 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-47 \pm 7}{40}$.

$x_1 = \frac{-47+7}{40} = \frac{-40}{40} = -1$.

$x_2 = \frac{-47-7}{40} = \frac{-54}{40} = -\frac{27}{20}$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = -1$, то $y_1 = 5(-1) + 13 = 8$. Решение $(-1, 8)$.

Если $x_2 = -\frac{27}{20}$, то $y_2 = 5(-\frac{27}{20}) + 13 = -\frac{27}{4} + \frac{52}{4} = \frac{25}{4}$. Решение $(-\frac{27}{20}, \frac{25}{4})$.

Ответ: $(-1, 8); (-\frac{27}{20}, \frac{25}{4})$.

6)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 25y^2 = 29 \\ xy = 2 \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $2xy = 4$, а $10xy = 20$.

Преобразуем первое уравнение, добавляя и вычитая $10xy$, чтобы получить полные квадраты:

$x^2 + 10xy + 25y^2 = 29 + 10xy \Rightarrow (x+5y)^2 = 29 + 20 = 49$.

Отсюда $x+5y = 7$ или $x+5y = -7$.

$x^2 - 10xy + 25y^2 = 29 - 10xy \Rightarrow (x-5y)^2 = 29 - 20 = 9$.

Отсюда $x-5y = 3$ или $x-5y = -3$.

Теперь решим четыре системы линейных уравнений:

Случай A: $ \begin{cases} x+5y=7 \\ x-5y=3 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2x=10$, $x=5$. Вычитая, получим $10y=4$, $y=2/5$. Решение $(5, 2/5)$.

Случай B: $ \begin{cases} x+5y=7 \\ x-5y=-3 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2x=4$, $x=2$. Вычитая, получим $10y=10$, $y=1$. Решение $(2, 1)$.

Случай C: $ \begin{cases} x+5y=-7 \\ x-5y=3 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2x=-4$, $x=-2$. Вычитая, получим $10y=-10$, $y=-1$. Решение $(-2, -1)$.

Случай D: $ \begin{cases} x+5y=-7 \\ x-5y=-3 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2x=-10$, $x=-5$. Вычитая, получим $10y=-4$, $y=-2/5$. Решение $(-5, -2/5)$.

Ответ: $(5, 2/5); (2, 1); (-2, -1); (-5, -2/5)$.