Номер 129, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} y = 4 - x, \\ x^2 + 3xy = 18; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x + y = -5, \\ xy = -14; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x - 5y = 3, \\ x^2 - 2xy - y^2 = -1; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 + xy - 3y = -1, \\ 4x - y = 3; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 3x - 2y = 9, \\ 4x^2 + 6y = 7; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 6x + y = 5, \\ (x - 3)(y + 5) = 2. \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = 4 - x, \\ x^2 + 3xy = 18; \end{cases} $$ Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x^2 + 3x(4 - x) = 18$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 12x - 3x^2 = 18$
$-2x^2 + 12x - 18 = 0$
Разделим обе части уравнения на $-2$:
$x^2 - 6x + 9 = 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x - 3)^2 = 0$
Отсюда находим $x$:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 3$ в первое уравнение:
$y = 4 - 3 = 1$
Таким образом, решение системы - пара чисел $(3, 1)$.
Ответ: $(3, 1)$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = -5, \\ xy = -14; \end{cases} $$ Эта система является симметрической. Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
Подставим значения из системы:
$t^2 - (-5)t + (-14) = 0$
$t^2 + 5t - 14 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7$
$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2$
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(-7, 2)$ и $(2, -7)$.
Ответ: $(-7, 2), (2, -7)$.

3) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 5y = 3, \\ x^2 - 2xy - y^2 = -1; \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 3 + 5y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(3 + 5y)^2 - 2(3 + 5y)y - y^2 = -1$
Раскроем скобки:
$(9 + 30y + 25y^2) - (6y + 10y^2) - y^2 = -1$
$9 + 30y + 25y^2 - 6y - 10y^2 - y^2 = -1$
Приведем подобные слагаемые:
$14y^2 + 24y + 9 + 1 = 0$
$14y^2 + 24y + 10 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$7y^2 + 12y + 5 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 144 - 140 = 4$.
$y_1 = \frac{-12 - \sqrt{4}}{2 \cdot 7} = \frac{-12 - 2}{14} = \frac{-14}{14} = -1$
$y_2 = \frac{-12 + \sqrt{4}}{2 \cdot 7} = \frac{-12 + 2}{14} = \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7}$
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = -1$, $x_1 = 3 + 5(-1) = 3 - 5 = -2$.
При $y_2 = -\frac{5}{7}$, $x_2 = 3 + 5(-\frac{5}{7}) = 3 - \frac{25}{7} = \frac{21-25}{7} = -\frac{4}{7}$.
Ответ: $(-2, -1), (-\frac{4}{7}, -\frac{5}{7})$.

4) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + xy - 3y = -1, \\ 4x - y = 3; \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения:
$y = 4x - 3$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + x(4x - 3) - 3(4x - 3) = -1$
Раскроем скобки:
$x^2 + 4x^2 - 3x - 12x + 9 = -1$
Приведем подобные слагаемые:
$5x^2 - 15x + 10 = 0$
Разделим уравнение на 5:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1, x_2 = 2$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 4(1) - 3 = 1$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5$.
Ответ: $(1, 1), (2, 5)$.

5) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 2y = 9, \\ 4x^2 + 6y = 7; \end{cases} $$ Выразим $y$ из первого уравнения.
$2y = 3x - 9 \Rightarrow y = \frac{3x - 9}{2}$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$4x^2 + 6(\frac{3x - 9}{2}) = 7$
$4x^2 + 3(3x - 9) = 7$
$4x^2 + 9x - 27 = 7$
$4x^2 + 9x - 34 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-34) = 81 + 544 = 625$.
$x_1 = \frac{-9 - \sqrt{625}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 - 25}{8} = \frac{-34}{8} = -\frac{17}{4}$
$x_2 = \frac{-9 + \sqrt{625}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 + 25}{8} = \frac{16}{8} = 2$
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = -\frac{17}{4}$, $y_1 = \frac{3(-\frac{17}{4}) - 9}{2} = \frac{-\frac{51}{4} - \frac{36}{4}}{2} = \frac{-\frac{87}{4}}{2} = -\frac{87}{8}$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = \frac{3(2) - 9}{2} = \frac{6 - 9}{2} = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $(-\frac{17}{4}, -\frac{87}{8}), (2, -\frac{3}{2})$.

6) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 6x + y = 5, \\ (x - 3)(y + 5) = 2; \end{cases} $$ Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 5 - 6x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(x - 3)( (5 - 6x) + 5 ) = 2$
$(x - 3)(10 - 6x) = 2$
Раскроем скобки:
$10x - 6x^2 - 30 + 18x = 2$
$-6x^2 + 28x - 30 - 2 = 0$
$-6x^2 + 28x - 32 = 0$
Разделим уравнение на -2:
$3x^2 - 14x + 16 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$.
$x_1 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 2$, $y_1 = 5 - 6(2) = 5 - 12 = -7$.
При $x_2 = \frac{8}{3}$, $y_2 = 5 - 6(\frac{8}{3}) = 5 - 2 \cdot 8 = 5 - 16 = -11$.
Ответ: $(2, -7), (\frac{8}{3}, -11)$.