Номер 123, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. При каких значениях m не имеет решений неравенство:

1) $mx^2 - 2mx + m - 9 > 0;$

2) $(3m - 4)x^2 + 2(m - 2)x + m - 2 \le 0?$

1) $mx^2 - 2mx + m - 9 > 0$

Данное неравенство не имеет решений тогда и только тогда, когда для любого действительного значения $x$ выполняется противоположное неравенство: $mx^2 - 2mx + m - 9 \le 0$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $m = 0$.

При $m = 0$ неравенство принимает вид: $0 \cdot x^2 - 2 \cdot 0 \cdot x + 0 - 9 \le 0$, что равносильно $-9 \le 0$. Это неравенство верно для любого значения $x$. Следовательно, исходное неравенство $mx^2 - 2mx + m - 9 > 0$ при $m=0$ решений не имеет. Значит, $m=0$ входит в искомое множество значений.

Случай 2: $m \ne 0$.

В этом случае $f(x) = mx^2 - 2mx + m - 9$ является квадратичной функцией. Для того чтобы неравенство $f(x) \le 0$ выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы парабола, являющаяся графиком функции, была направлена ветвями вниз и не имела точек выше оси абсцисс. Это соответствует двум условиям:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным: $a = m < 0$.

2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть неположительным (парабола касается оси Ox или находится ниже нее): $D \le 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-2m)^2 - 4 \cdot m \cdot (m-9) = 4m^2 - 4m^2 + 36m = 36m$.

Решим неравенство $D \le 0$:

$36m \le 0 \implies m \le 0$.

Система условий для этого случая: $\begin{cases} m < 0 \\ m \le 0 \end{cases}$. Решением этой системы является $m < 0$.

Объединяя результаты обоих случаев ($m=0$ из первого случая и $m<0$ из второго), получаем, что исходное неравенство не имеет решений при $m \le 0$.

Ответ: $m \in (-\infty, 0]$.

2) $(3m-4)x^2+2(m-2)x+m-2 \le 0$

Данное неравенство не имеет решений тогда и только тогда, когда для любого действительного значения $x$ выполняется противоположное строгое неравенство: $(3m-4)x^2+2(m-2)x+m-2 > 0$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$3m - 4 = 0 \implies m = 4/3$.

Подставим это значение в неравенство $(3m-4)x^2+2(m-2)x+m-2 > 0$:

$0 \cdot x^2 + 2(4/3 - 2)x + 4/3 - 2 > 0$

$2(-2/3)x - 2/3 > 0$

$-4/3 x > 2/3$

$x < -1/2$

Это неравенство выполняется не для всех $x$, а только для $x < -1/2$. Следовательно, $m = 4/3$ не является решением задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

$3m - 4 \ne 0 \implies m \ne 4/3$.

В этом случае $g(x) = (3m-4)x^2+2(m-2)x+m-2$ является квадратичной функцией. Для того чтобы неравенство $g(x) > 0$ выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы парабола, являющаяся графиком функции, была направлена ветвями вверх и целиком лежала выше оси абсцисс. Это соответствует двум условиям:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть положительным: $a = 3m - 4 > 0 \implies m > 4/3$.

2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть отрицательным: $D < 0$.

Вычислим дискриминант (удобно использовать $D/4$):

$k = b/2 = m-2$.

$D/4 = k^2 - ac = (m-2)^2 - (3m-4)(m-2) = (m-2)[(m-2) - (3m-4)] = (m-2)(m-2-3m+4) = (m-2)(-2m+2) = -2(m-1)(m-2)$.

Решим неравенство $D/4 < 0$:

$-2(m-1)(m-2) < 0$

$(m-1)(m-2) > 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $m \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$.

Теперь объединим оба условия в систему:

$\begin{cases} m > 4/3 \\ m \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \end{cases}$

Так как $4/3 \approx 1.33$, то пересечение множества $m > 4/3$ с интервалом $(-\infty, 1)$ пусто. Пересечение множества $m > 4/3$ с интервалом $(2, +\infty)$ дает $m > 2$.

Следовательно, исходное неравенство не имеет решений при $m > 2$.

Ответ: $m \in (2, +\infty)$.