Номер 121, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. При каких значениях $b$ имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $x^2 - bx + 2b - 3 = 0;$

2) $bx^2 + (2b - 1)x + b = 0;$

3) $(1 - 2b)x^2 + 2(2b + 1)x + 6b - 2 = 0;$

4) $(2b + 10)x^2 + (b - 10)x - b + 4 = 0?$

1) $x^2 - bx + 2b - 3 = 0$

Уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (не равен 0). Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Найдем дискриминант:
$D = (-b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2b - 3) = b^2 - 8b + 12$

Решим неравенство $D > 0$:
$b^2 - 8b + 12 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $b^2 - 8b + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $b_1 = 2$ и $b_2 = 6$.
Парабола $y = b^2 - 8b + 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $b$ вне интервала между корнями.
Следовательно, $b \in (-\infty; 2) \cup (6; \infty)$.

Ответ: $b \in (-\infty; 2) \cup (6; \infty)$.

2) $bx^2 + (2b - 1)x + b = 0$

Чтобы уравнение имело два различных корня, оно должно быть квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю.
Условие 1: $b \neq 0$.

Дискриминант должен быть строго больше нуля.
$D = (2b - 1)^2 - 4 \cdot b \cdot b = 4b^2 - 4b + 1 - 4b^2 = 1 - 4b$

Условие 2: $D > 0$.
$1 - 4b > 0$
$1 > 4b$
$b < \frac{1}{4}$

Объединяем оба условия: $b < \frac{1}{4}$ и $b \neq 0$.
Это соответствует двум интервалам: $(-\infty; 0)$ и $(0; \frac{1}{4})$.

Ответ: $b \in (-\infty; 0) \cup (0; 0.25)$.

3) $(1 - 2b)x^2 + 2(2b + 1)x + 6b - 2 = 0$

Условие 1: уравнение должно быть квадратным.
$1 - 2b \neq 0 \implies 2b \neq 1 \implies b \neq \frac{1}{2}$.

Условие 2: дискриминант должен быть строго больше нуля.
Удобнее использовать формулу для четного второго коэффициента $D_1 = (\frac{k}{2})^2 - ac$:
$D_1 = (2b + 1)^2 - (1 - 2b)(6b - 2)$
$D_1 = (4b^2 + 4b + 1) - (6b - 2 - 12b^2 + 4b)$
$D_1 = 4b^2 + 4b + 1 - (10b - 12b^2 - 2)$
$D_1 = 4b^2 + 4b + 1 - 10b + 12b^2 + 2 = 16b^2 - 6b + 3$

Решим неравенство $16b^2 - 6b + 3 > 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена относительно $b$:
$D_b = (-6)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 3 = 36 - 192 = -156$.
Так как $D_b < 0$ и коэффициент при $b^2$ (равный 16) положителен, трехчлен $16b^2 - 6b + 3$ всегда принимает положительные значения.
Таким образом, неравенство $D_1 > 0$ выполняется для любого действительного значения $b$.

Остается учесть только первое условие: $b \neq \frac{1}{2}$.

Ответ: $b \in (-\infty; 0.5) \cup (0.5; \infty)$.

4) $(2b + 10)x^2 + (b - 10)x - b + 4 = 0$

Условие 1: уравнение должно быть квадратным.
$2b + 10 \neq 0 \implies 2b \neq -10 \implies b \neq -5$.

Условие 2: дискриминант должен быть строго больше нуля.
$D = (b - 10)^2 - 4 \cdot (2b + 10) \cdot (-b + 4)$
$D = (b^2 - 20b + 100) - 4(-2b^2 + 8b - 10b + 40)$
$D = (b^2 - 20b + 100) - 4(-2b^2 - 2b + 40)$
$D = b^2 - 20b + 100 + 8b^2 + 8b - 160$
$D = 9b^2 - 12b - 60$

Решим неравенство $9b^2 - 12b - 60 > 0$. Разделим обе части на 3:
$3b^2 - 4b - 20 > 0$
Найдем корни уравнения $3b^2 - 4b - 20 = 0$:
$b = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20)}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 240}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{6} = \frac{4 \pm 16}{6}$
$b_1 = \frac{4 + 16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$
$b_2 = \frac{4 - 16}{6} = \frac{-12}{6} = -2$
Парабола $y = 3b^2 - 4b - 20$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $b \in (-\infty; -2) \cup (\frac{10}{3}; \infty)$.

Объединяем оба условия: $b \in (-\infty; -2) \cup (\frac{10}{3}; \infty)$ и $b \neq -5$.
Значение $b = -5$ попадает в интервал $(-\infty; -2)$, поэтому его нужно исключить.

Ответ: $b \in (-\infty; -5) \cup (-5; -2) \cup (\frac{10}{3}; \infty)$.