Номер 119, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Найдите целые решения системы неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - 7x + 6 < 0, \\ x \ge 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x^2 - 4x \le 0, \\ -0,3x + 0,9 > 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 7x - 18 \ge 0, \\ -3,1 \le x \le 15,4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + (\sqrt{11} - 3)x - 3\sqrt{11} \le 0, \\ -x^2 - 1,5x + 7 \ge 0. \end{cases}$

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 7x + 6 < 0, \\ x \ge 2; \end{cases} $$

Сначала решим первое неравенство $x^2 - 7x + 6 < 0$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 7x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля на интервале между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $1 < x < 6$.

Второе неравенство системы: $x \ge 2$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(1; 6) \cap [2; +\infty)$. Пересечением является полуинтервал $[2; 6)$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: 2, 3, 4, 5.

Ответ: 2, 3, 4, 5.

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 3x^2 - 4x \le 0, \\ -0,3x + 0,9 > 0; \end{cases} $$

Решим первое неравенство $3x^2 - 4x \le 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(3x - 4) \le 0$.

Корнями уравнения $x(3x-4)=0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4/3$. Ветви параболы $y = 3x^2 - 4x$ направлены вверх, поэтому решение неравенства находится на отрезке между корнями: $0 \le x \le 4/3$.

Решим второе неравенство: $-0,3x + 0,9 > 0$.

$-0,3x > -0,9$

Разделим обе части на -0,3, изменив знак неравенства на противоположный: $x < 3$.

Найдем пересечение решений: $[0; 4/3] \cap (-\infty; 3)$. Пересечением является отрезок $[0; 4/3]$.

Поскольку $4/3 = 1\frac{1}{3}$, целыми числами на этом отрезке являются 0 и 1.

Ответ: 0, 1.

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 7x - 18 \ge 0, \\ -3,1 \le x \le 15,4; \end{cases} $$

Решим первое неравенство $x^2 - 7x - 18 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$ через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2} = 9$.

Ветви параболы $y = x^2 - 7x - 18$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $x$ находится вне отрезка между корнями, включая сами корни: $x \le -2$ или $x \ge 9$. В виде объединения промежутков: $(-\infty; -2] \cup [9; +\infty)$.

Решение второго неравенства уже дано: $[-3,1; 15,4]$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty; -2] \cup [9; +\infty)$ и $[-3,1; 15,4]$.

Пересечение дает нам объединение двух отрезков: $[-3,1; -2] \cup [9; 15,4]$.

Найдем целые числа в полученных промежутках. В отрезке $[-3,1; -2]$ это числа -3, -2. В отрезке $[9; 15,4]$ это числа 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Ответ: -3, -2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + (\sqrt{11} - 3)x - 3\sqrt{11} \le 0, \\ -x^2 - 1,5x + 7 \ge 0. \end{cases} $$

Решим первое неравенство $x^2 + (\sqrt{11} - 3)x - 3\sqrt{11} \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + (\sqrt{11} - 3)x - 3\sqrt{11} = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2 = -( \sqrt{11} - 3) = 3 - \sqrt{11}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -3\sqrt{11}$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -\sqrt{11}$.

Ветви параболы направлены вверх, значит, решение неравенства находится на отрезке между корнями. Так как $-\sqrt{11} < 3$, то решение: $[-\sqrt{11}; 3]$.

Решим второе неравенство $-x^2 - 1,5x + 7 \ge 0$. Умножим его на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства: $x^2 + 1,5x - 7 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 1,5x - 7 = 0$. Дискриминант $D = (1,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 2,25 + 28 = 30,25 = 5,5^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-1,5 - 5,5}{2} = -3,5$ и $x_2 = \frac{-1,5 + 5,5}{2} = 2$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства находится на отрезке между корнями: $[-3,5; 2]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-\sqrt{11}; 3] \cap [-3,5; 2]$.

Оценим значение $-\sqrt{11}$. Так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $3 < \sqrt{11} < 4$. Следовательно, $-4 < -\sqrt{11} < -3$. Более точно, $-\sqrt{11} \approx -3,32$.

Поскольку $-3,5 < -\sqrt{11}$ и $2 < 3$, пересечением является отрезок $[-\sqrt{11}; 2]$.

Найдем целые числа в этом отрезке. Так как $-4 < -\sqrt{11} < -3$, то целыми решениями будут -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2.