Номер 118, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Решите систему неравенств:

1)

Решим первое неравенство системы: $x^2 - 3x - 10 \le 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 3x - 10$ направлены вверх ($a=1>0$), решение неравенства $x^2 - 3x - 10 \le 0$ находится между корнями, включая сами корни. Таким образом, $x \in [-2, 5]$.

Второе неравенство системы: $x > 1$. Решением является интервал $(1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in [-2, 5]$ и $x \in (1, \infty)$.

Общим решением является интервал $(1, 5]$.

Ответ: $(1, 5]$.

2)

Решим первое неравенство системы: $3x^2 - 10x - 8 > 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 10x - 8 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{10 - 14}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{10 + 14}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 10x - 8$ направлены вверх ($a=3>0$), поэтому решение неравенства $3x^2 - 10x - 8 > 0$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, $x \in (-\infty, -2/3) \cup (4, \infty)$.

Второе неравенство системы: $x \le 5$. Решением является интервал $(-\infty, 5]$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty, -2/3) \cup (4, \infty)$ и $(-\infty, 5]$.

Пересечение $(-\infty, -2/3)$ и $(-\infty, 5]$ дает $(-\infty, -2/3)$.

Пересечение $(4, \infty)$ и $(-\infty, 5]$ дает $(4, 5]$.

Объединяя эти результаты, получаем решение системы: $(-\infty, -2/3) \cup (4, 5]$.

Ответ: $(-\infty, -2/3) \cup (4, 5]$.

3)

Решим первое неравенство системы: $2x^2 - 3x - 9 \le 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x - 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - 9}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + 9}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Ветви параболы $y = 2x^2 - 3x - 9$ направлены вверх ($a=2>0$), поэтому решение неравенства $2x^2 - 3x - 9 \le 0$ есть отрезок $[-\frac{3}{2}, 3]$.

Решим второе неравенство системы: $2x - 7 \ge 0$.

$2x \ge 7$, откуда $x \ge \frac{7}{2}$ или $x \ge 3.5$. Решением является промежуток $[3.5, \infty)$.

Найдем пересечение решений $[-\frac{3}{2}, 3]$ и $[3.5, \infty)$.

Так как $3 < 3.5$, эти промежутки не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

4)

Решим первое неравенство: $x^2 - 5x - 14 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$.

Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$), поэтому решение неравенства $x^2 - 5x - 14 \le 0$ есть отрезок $[-2, 7]$.

Решим второе неравенство: $3x + 6 \le 0$.

$3x \le -6$, откуда $x \le -2$. Решением является промежуток $(-\infty, -2]$.

Найдем пересечение решений $[-2, 7]$ и $(-\infty, -2]$.

Общим решением является единственная точка $x = -2$.

Ответ: $\{-2\}$.

5)

Решим первое неравенство: $x^2 - x - 6 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - x - 6 \ge 0$ есть объединение промежутков $(-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - x - 30 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$: $x_1 = -5$ и $x_2 = 6$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - x - 30 < 0$ есть интервал $(-5, 6)$.

Найдем пересечение множеств $((-\infty, -2] \cup [3, \infty))$ и $(-5, 6)$.

Пересечение $(-5, 6)$ с $(-\infty, -2]$ дает $(-5, -2]$.

Пересечение $(-5, 6)$ с $[3, \infty)$ дает $[3, 6)$.

Общим решением является объединение этих промежутков: $(-5, -2] \cup [3, 6)$.

Ответ: $(-5, -2] \cup [3, 6)$.

6)

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x - 12 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$: $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - 4x - 12 \le 0$ есть отрезок $[-2, 6]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 6x - 7 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$: $x_1 = -1$ и $x_2 = 7$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - 6x - 7 < 0$ есть интервал $(-1, 7)$.

Найдем пересечение решений $[-2, 6]$ и $(-1, 7)$.

Общим решением является полуинтервал $(-1, 6]$.

Ответ: $(-1, 6]$.