Номер 111, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Постройте график функции:

1) $y = \frac{|x|}{x}(x^2 - x - 2);$

2) $y = x^2 - 2|x| - 3;$

3) $y = x^2 + x\frac{|x+1|}{x+1} - 6;$

4) $y = x^2 + 2|x+1| - x - 2.$

1) $y = \frac{|x|}{x}(x^2 - x - 2)$

Для построения графика этой функции, раскроем модуль $|x|$.

Область определения функции: $x \neq 0$, так как в знаменателе стоит $x$. Это означает, что на графике в точке $x=0$ будет разрыв (выколотые точки).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x > 0$
В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{x}{x}(x^2 - x - 2) = x^2 - x - 2$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее ключевые точки:
- Вершина параболы: $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. $y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -2.25$. Координаты вершины $(\frac{1}{2}; -2.25)$. Так как $x_v = 0.5 > 0$, вершина принадлежит этой части графика.
- Пересечение с осью Ox: $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = -1$. Так как мы рассматриваем $x > 0$, нам подходит только корень $x=2$. Точка пересечения $(2, 0)$.
- Точка разрыва: при $x \to 0^+$, $y \to 0^2 - 0 - 2 = -2$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(0, -2)$.

Случай 2: $x < 0$
В этом случае $|x| = -x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{-x}{x}(x^2 - x - 2) = -(x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 2$.
Это парабола с ветвями вниз. Найдем ее ключевые точки:
- Вершина параболы: $x_v = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2}$. Так как $x_v = 0.5$ не принадлежит интервалу $x < 0$, вершина не является частью этого куска графика.
- Пересечение с осью Ox: $-x^2 + x + 2 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$. Корни те же: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$. Так как мы рассматриваем $x < 0$, нам подходит корень $x=-1$. Точка пересечения $(-1, 0)$.
- Точка разрыва: при $x \to 0^-$, $y \to -0^2 + 0 + 2 = 2$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(0, 2)$.

Собираем график: для $x > 0$ строим часть параболы $y = x^2 - x - 2$ с выколотой точкой $(0, -2)$. Для $x < 0$ строим часть параболы $y = -x^2 + x + 2$ с выколотой точкой $(0, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. При $x > 0$ это часть параболы $y = x^2 - x - 2$, начинающаяся из выколотой точки $(0, -2)$, с вершиной в $(0.5, -2.25)$ и пересечением оси Ox в точке $(2, 0)$. При $x < 0$ это часть параболы $y = -x^2 + x + 2$, начинающаяся из выколотой точки $(0, 2)$ и пересекающая ось Ox в точке $(-1, 0)$.

2) $y = x^2 - 2|x| - 3$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Тогда функцию можно переписать как $y = |x|^2 - 2|x| - 3$.
Эта функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 2|-x| - 3 = x^2 - 2|x| - 3 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

Рассмотрим случай $x \ge 0$:
В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = x^2 - 2x - 3$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее ключевые точки:
- Вершина параболы: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. $y_v = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$. Координаты вершины $(1, -4)$.
- Пересечение с осью Ox: $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = -1$. Так как мы рассматриваем $x \ge 0$, подходит корень $x=3$. Точка пересечения $(3, 0)$.
- Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.

Строим график для $x \ge 0$: это часть параболы, выходящая из точки $(0, -3)$, проходящая через вершину $(1, -4)$ и пересекающая ось Ox в точке $(3, 0)$.

Теперь отражаем эту часть графика симметрично относительно оси Oy. Вершина $(1, -4)$ отразится в точку $(-1, -4)$. Точка $(3, 0)$ отразится в точку $(-3, 0)$. Точка $(0, -3)$ лежит на оси симметрии и останется на месте.

Ответ: График функции — объединение двух частей парабол, симметричное относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ это график параболы $y = x^2 - 2x - 3$. Для $x < 0$ это график параболы $y = x^2 + 2x - 3$. График имеет вершины в точках $(1, -4)$ и $(-1, -4)$, пересекает ось Oy в точке $(0, -3)$ и ось Ox в точках $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

3) $y = x^2 + x\frac{|x+1|}{x+1} - 6$

Область определения функции: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. В точке $x=-1$ на графике будет разрыв.

Раскроем модуль $|x+1|$:

Случай 1: $x+1 > 0 \implies x > -1$
В этом случае $|x+1| = x+1$, и функция принимает вид:
$y = x^2 + x\frac{x+1}{x+1} - 6 = x^2 + x - 6$.
Это парабола с ветвями вверх.
- Вершина: $x_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$. $y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$. Вершина $(-0.5, -6.25)$ принадлежит рассматриваемому интервалу $x > -1$.
- Пересечение с осью Ox: $x^2 + x - 6 = 0 \implies (x+3)(x-2)=0$. Корни $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Подходит $x=2$. Точка $(2, 0)$.
- Точка разрыва: при $x \to -1^+$, $y \to (-1)^2 + (-1) - 6 = -6$. Выколотая точка $(-1, -6)$.

Случай 2: $x+1 < 0 \implies x < -1$
В этом случае $|x+1| = -(x+1)$, и функция принимает вид:
$y = x^2 + x\frac{-(x+1)}{x+1} - 6 = x^2 - x - 6$.
Это парабола с ветвями вверх.
- Вершина: $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0.5$. Вершина не принадлежит интервалу $x < -1$.
- Пересечение с осью Ox: $x^2 - x - 6 = 0 \implies (x-3)(x+2)=0$. Корни $x_1 = 3$, $x_2 = -2$. Подходит $x=-2$. Точка $(-2, 0)$.
- Точка разрыва: при $x \to -1^-$, $y \to (-1)^2 - (-1) - 6 = 1 + 1 - 6 = -4$. Выколотая точка $(-1, -4)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. При $x > -1$ это часть параболы $y = x^2 + x - 6$ с выколотой точкой $(-1, -6)$ и вершиной в $(-0.5, -6.25)$. При $x < -1$ это часть параболы $y = x^2 - x - 6$ с выколотой точкой $(-1, -4)$.

4) $y = x^2 + 2|x+1| - x - 2$

Для построения графика раскроем модуль $|x+1|$. Критическая точка $x+1=0 \implies x=-1$.

Случай 1: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
В этом случае $|x+1| = x+1$.
$y = x^2 + 2(x+1) - x - 2 = x^2 + 2x + 2 - x - 2 = x^2 + x$.
Это парабола с ветвями вверх.
- Вершина: $x_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$. $y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25$. Вершина $(-0.5, -0.25)$ принадлежит интервалу $x \ge -1$.
- Пересечение с осью Ox: $x^2+x=0 \implies x(x+1)=0$. Корни $x_1=0$, $x_2=-1$. Оба корня принадлежат интервалу $x \ge -1$. Точки $(0, 0)$ и $(-1, 0)$.
- Точка "склейки": при $x=-1$, $y = (-1)^2 + (-1) = 0$.

Случай 2: $x+1 < 0 \implies x < -1$
В этом случае $|x+1| = -(x+1)$.
$y = x^2 + 2(-(x+1)) - x - 2 = x^2 - 2x - 2 - x - 2 = x^2 - 3x - 4$.
Это парабола с ветвями вверх.
- Вершина: $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$. Вершина не принадлежит интервалу $x < -1$. На этом интервале функция убывает.
- Пересечение с осью Ox: $x^2 - 3x - 4 = 0 \implies (x-4)(x+1)=0$. Корни $x_1=4$, $x_2=-1$. Ни один из них не принадлежит интервалу $x < -1$.
- Точка "склейки": при $x \to -1^-$, $y \to (-1)^2 - 3(-1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.

Функция непрерывна в точке $x=-1$, так как значения слева и справа совпадают. График состоит из двух частей парабол, которые плавно соединяются в точке $(-1, 0)$.

Ответ: График состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(-1, 0)$. При $x \ge -1$ это парабола $y = x^2 + x$ с вершиной в точке $(-0.5, -0.25)$ и пересечением осей в точках $(-1, 0)$ и $(0, 0)$. При $x < -1$ это часть параболы $y = x^2 - 3x - 4$.