Номер 113, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Решите неравенство:

1) $x^2 + x - 30 < 0;$

2) $x^2 - 10x + 16 \ge 0;$

3) $-x^2 + 0.8x + 2.4 > 0;$

4) $-2x^2 + 7x - 6 < 0;$

5) $2x^2 - 50x \ge 0;$

6) $4x^2 - 49 < 0;$

7) $16x^2 - 8x + 1 > 0;$

8) $x^2 + 10x + 25 \ge 0;$

9) $2x^2 - 3x + 4 > 0;$

10) $9x^2 - 6x + 1 \le 0;$

11) $4x^2 - 20x + 25 < 0;$

12) $3x^2 - x + 2 \le 0.$

Для решения квадратных неравенств вида $ax^2+bx+c > 0$ (или $<, \geq, \leq$) используется метод интервалов. Алгоритм решения:

1. Найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$.
2. Отметить найденные корни на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы.
3. Определить знак выражения $ax^2+bx+c$ в каждом из полученных интервалов. Это можно сделать, подставив любое число из интервала в выражение, или по знаку коэффициента $a$ (если $a > 0$ — ветви параболы вверх, если $a < 0$ — ветви вниз).
4. Выбрать интервалы, удовлетворяющие знаку неравенства.

1) $x^2 + x - 30 < 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + x - 30$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + x - 30 = 0$.

Используем теорему Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -30$. Корни: $x_1 = -6$, $x_2 = 5$.

Парабола пересекает ось Ox в точках -6 и 5. Так как ветви направлены вверх, значения функции отрицательны между корнями.

Ответ: $x \in (-6; 5)$.

2) $x^2 - 10x + 16 \geq 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 10x + 16$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции: $x^2 - 10x + 16 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 10$, $x_1 \cdot x_2 = 16$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 8$.

Парабола пересекает ось Ox в точках 2 и 8. Так как ветви направлены вверх, значения функции положительны или равны нулю вне интервала между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup [8; +\infty)$.

3) $-x^2 + 0,8x + 2,4 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 0,8x - 2,4 < 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 0,8x - 2,4$. Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем нули функции: $x^2 - 0,8x - 2,4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-0,8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2,4) = 0,64 + 9,6 = 10,24$. $\sqrt{10,24} = 3,2$.

$x_1 = \frac{0,8 - 3,2}{2} = \frac{-2,4}{2} = -1,2$.

$x_2 = \frac{0,8 + 3,2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Парабола пересекает ось Ox в точках -1,2 и 2. Неравенство $x^2 - 0,8x - 2,4 < 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $x \in (-1,2; 2)$.

4) $-2x^2 + 7x - 6 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак:

$2x^2 - 7x + 6 > 0$

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 7x + 6$. Ветви параболы направлены вверх ($a=2>0$).

Найдем нули функции: $2x^2 - 7x + 6 = 0$.

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

$x_1 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$.

$x_2 = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Неравенство $2x^2 - 7x + 6 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; 1,5) \cup (2; +\infty)$.

5) $2x^2 - 50x \geq 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$2x(x - 25) \geq 0$

Найдем нули: $2x=0 \Rightarrow x_1=0$ и $x-25=0 \Rightarrow x_2=25$.

Ветви параболы $y = 2x^2 - 50x$ направлены вверх ($a=2>0$). Неотрицательные значения функция принимает при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [25; +\infty)$.

6) $4x^2 - 49 < 0$

Разложим на множители по формуле разности квадратов:

$(2x - 7)(2x + 7) < 0$

Найдем нули: $2x-7=0 \Rightarrow x_1=3,5$ и $2x+7=0 \Rightarrow x_2=-3,5$.

Ветви параболы $y = 4x^2 - 49$ направлены вверх ($a=4>0$). Отрицательные значения функция принимает между корнями.

Ответ: $x \in (-3,5; 3,5)$.

7) $16x^2 - 8x + 1 > 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(4x - 1)^2 > 0$

Квадрат любого выражения всегда неотрицателен, то есть $(4x - 1)^2 \geq 0$ для любого $x$. Равенство нулю достигается при $4x - 1 = 0$, то есть при $x = 1/4$.

Следовательно, строгое неравенство $(4x - 1)^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x = 1/4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1/4) \cup (1/4; +\infty)$.

8) $x^2 + 10x + 25 \geq 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(x + 5)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Это неравенство верно для любого значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

9) $2x^2 - 3x + 4 > 0$

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 3x + 4$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=2>0$).

Найдем дискриминант уравнения $2x^2 - 3x + 4 = 0$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox. Следовательно, выражение $2x^2 - 3x + 4$ всегда положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

10) $9x^2 - 6x + 1 \leq 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(3x - 1)^2 \leq 0$

Выражение $(3x - 1)^2$ как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Оно может быть только равно нулю.

$(3x - 1)^2 = 0$ при $3x - 1 = 0$, то есть $x = 1/3$.

Таким образом, неравенство выполняется только в одной точке.

Ответ: $x = 1/3$.

11) $4x^2 - 20x + 25 < 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(2x - 5)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

12) $3x^2 - x + 2 \leq 0$

Рассмотрим функцию $y = 3x^2 - x + 2$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=3>0$).

Найдем дискриминант уравнения $3x^2 - x + 2 = 0$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви направлены вверх, вся парабола расположена выше оси Ox, и, следовательно, выражение $3x^2 - x + 2$ всегда положительно. Неравенство $3x^2 - x + 2 \leq 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).