Номер 115, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Найдите множество решений неравенства:

1) $(2x - 1)(x + 3) \ge 4;$

2) $(x + 2)^2 < 13 - (x - 3)^2;$

3) $\frac{x^2 + x}{2} - \frac{8x - 1}{3} < -2;$

4) $\frac{x^2 - 4x}{8} + \frac{x - 3}{5} \ge \frac{1 - x}{6}.$

1)

Решим неравенство $(2x-1)(x+3) \geq 4$.

Сначала раскроем скобки в левой части:

$2x^2 + 6x - x - 3 \geq 4$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$2x^2 + 5x - 3 - 4 \geq 0$

$2x^2 + 5x - 7 \geq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 5x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 9}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 9}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$), ветви параболы $y=2x^2+5x-7$ направлены вверх. Неравенство $2x^2 + 5x - 7 \geq 0$ выполняется на промежутках, где график параболы находится выше или на оси абсцисс, то есть левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \leq -3.5$ или $x \geq 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3.5] \cup [1; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $(x+2)^2 < 13 - (x-3)^2$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + 4x + 4 < 13 - (x^2 - 6x + 9)$

$x^2 + 4x + 4 < 13 - x^2 + 6x - 9$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 4x + 4 - 13 + x^2 - 6x + 9 < 0$

$(x^2 + x^2) + (4x - 6x) + (4 - 13 + 9) < 0$

$2x^2 - 2x < 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x^2 - x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 1) < 0$

Корнями выражения $x(x-1)$ являются $x=0$ и $x=1$. Это парабола с ветвями вверх. Значения выражения отрицательны между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

3)

Решим неравенство $\frac{x^2+x}{2} - \frac{8x-1}{3} < -2$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 6:

$6 \cdot \left(\frac{x^2+x}{2} - \frac{8x-1}{3}\right) < 6 \cdot (-2)$

$3(x^2+x) - 2(8x-1) < -12$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 3x - 16x + 2 < -12$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$3x^2 - 13x + 2 + 12 < 0$

$3x^2 - 13x + 14 < 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 13x + 14 = 0$.

Дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{13 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{13 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

Ветви параболы $y=3x^2 - 13x + 14$ направлены вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $3x^2 - 13x + 14 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $2 < x < \frac{7}{3}$.

Ответ: $x \in (2; \frac{7}{3})$.

4)

Решим неравенство $\frac{x^2-4x}{8} + \frac{x-3}{5} \geq \frac{1-x}{6}$.

Найдем наименьший общий знаменатель для 8, 5 и 6. $НОК(8, 5, 6) = 120$. Умножим обе части неравенства на 120:

$120 \cdot \frac{x^2-4x}{8} + 120 \cdot \frac{x-3}{5} \geq 120 \cdot \frac{1-x}{6}$

$15(x^2-4x) + 24(x-3) \geq 20(1-x)$

Раскроем скобки:

$15x^2 - 60x + 24x - 72 \geq 20 - 20x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$15x^2 - 60x + 24x - 72 - 20 + 20x \geq 0$

$15x^2 - 16x - 92 \geq 0$

Найдем корни уравнения $15x^2 - 16x - 92 = 0$.

Дискриминант: $D = (-16)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-92) = 256 + 5520 = 5776$.

$\sqrt{D} = \sqrt{5776} = 76$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{16 - 76}{2 \cdot 15} = \frac{-60}{30} = -2$

$x_2 = \frac{16 + 76}{2 \cdot 15} = \frac{92}{30} = \frac{46}{15}$

Ветви параболы $y=15x^2 - 16x - 92$ направлены вверх ($a=15 > 0$). Неравенство $\geq 0$ выполняется при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, $x \leq -2$ или $x \geq \frac{46}{15}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [\frac{46}{15}; +\infty)$.