Номер 126, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Решите неравенство:

1) $|x^2 - x - 8| < 12;$

2) $|x^2 - 2x| \ge 3;$

3) $|x - 3|(x + 1) \ge 4x;$

4) $x^2 - 2|x| < 15;$

5) $x^2 - 7x + 12 > |x - 4|;$

6) $|x| \cdot |x - 3| + x - 2 < 0.$

1) $|x^2 - x - 8| < 12$

Данное неравенство равносильно двойному неравенству $-12 < x^2 - x - 8 < 12$. Это, в свою очередь, эквивалентно системе из двух неравенств:
$\begin{cases} x^2 - x - 8 < 12 \\ x^2 - x - 8 > -12 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$x^2 - x - 8 - 12 < 0$
$x^2 - x - 20 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 5$, $x_2 = -4$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 20$ направлены вверх, решение неравенства есть интервал между корнями: $x \in (-4, 5)$.
Решим второе неравенство:
$x^2 - x - 8 + 12 > 0$
$x^2 - x + 4 > 0$
Найдем дискриминант уравнения $x^2 - x + 4 = 0$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, квадратный трехчлен всегда положителен. Следовательно, это неравенство выполняется для всех $x \in (-\infty, +\infty)$.
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $(-4, 5) \cap (-\infty, +\infty) = (-4, 5)$.
Ответ: $x \in (-4, 5)$.

2) $|x^2 - 2x| \ge 3$

Неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$x^2 - 2x \ge 3$ или $x^2 - 2x \le -3$.
Решим первое неравенство:
$x^2 - 2x - 3 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства находится за пределами корней: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$x^2 - 2x + 3 \le 0$
Дискриминант уравнения $x^2 - 2x + 3 = 0$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение $x^2 - 2x + 3$ всегда положительно, и неравенство не имеет решений.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

3) $|x - 3|(x + 1) \ge 4x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
Тогда $|x - 3| = x - 3$. Неравенство принимает вид:
$(x - 3)(x + 1) \ge 4x$
$x^2 - 2x - 3 \ge 4x$
$x^2 - 6x - 3 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 - 6x - 3 = 0$: $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(-3)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{3}$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, 3 - 2\sqrt{3}] \cup [3 + 2\sqrt{3}, +\infty)$.
Учитывая условие $x \ge 3$, получаем решение для этого случая: $x \in [3 + 2\sqrt{3}, +\infty)$.
Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.
Тогда $|x - 3| = -(x - 3)$. Неравенство принимает вид:
$-(x - 3)(x + 1) \ge 4x$
$-x^2 + 2x + 3 \ge 4x$
$-x^2 - 2x + 3 \ge 0$
$x^2 + 2x - 3 \le 0$
Корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Решение неравенства: $x \in [-3, 1]$.
Это решение полностью удовлетворяет условию $x < 3$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in [-3, 1] \cup [3 + 2\sqrt{3}, +\infty)$.

4) $x^2 - 2|x| < 15$

Так как $x^2 = |x|^2$, неравенство можно переписать в виде $|x|^2 - 2|x| - 15 < 0$.
Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 2t - 15 < 0$
Корни уравнения $t^2 - 2t - 15 = 0$ равны $t_1 = 5$, $t_2 = -3$.
Решение неравенства для $t$: $t \in (-3, 5)$.
Учитывая, что $t \ge 0$, получаем $0 \le t < 5$.
Возвращаемся к переменной $x$: $0 \le |x| < 5$.
Неравенство $|x| < 5$ равносильно $-5 < x < 5$.
Ответ: $x \in (-5, 5)$.

5) $x^2 - 7x + 12 > |x - 4|$

Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x - 4) > |x - 4|$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$.
Тогда $|x - 4| = x - 4$. Неравенство принимает вид:
$(x - 3)(x - 4) > x - 4$
Поскольку $x - 4 > 0$, можем разделить обе части на $x - 4$:
$x - 3 > 1 \implies x > 4$.
Решение в этом случае $x \in (4, +\infty)$.
Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.
Тогда $|x - 4| = -(x - 4)$. Неравенство принимает вид:
$(x - 3)(x - 4) > -(x - 4)$
$(x - 3)(x - 4) + (x - 4) > 0$
$(x - 4)((x - 3) + 1) > 0$
$(x - 4)(x - 2) > 0$
Корни $x=2$ и $x=4$. Решение: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$.
Учитывая условие $x < 4$, получаем решение для этого случая: $x \in (-\infty, 2)$.
Случай 3: $x - 4 = 0$, то есть $x = 4$.
Подставляем в исходное неравенство: $0 > |0|$, что неверно.
Объединяя решения из случаев 1 и 2, получаем ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$.

6) $|x| \cdot |x - 3| + x - 2 < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $x=0$ и $x=3$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.
Случай 1: $x < 0$.
Тогда $|x| = -x$ и $|x - 3| = -(x - 3)$.
$(-x)(-(x - 3)) + x - 2 < 0$
$x(x - 3) + x - 2 < 0$
$x^2 - 3x + x - 2 < 0$
$x^2 - 2x - 2 < 0$
Корни уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-4(-2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Решение неравенства: $x \in (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$.
Пересекая с условием $x < 0$, получаем $x \in (1 - \sqrt{3}, 0)$.
Случай 2: $0 \le x < 3$.
Тогда $|x| = x$ и $|x - 3| = -(x - 3)$.
$x(-(x - 3)) + x - 2 < 0$
$-x^2 + 3x + x - 2 < 0$
$-x^2 + 4x - 2 < 0 \implies x^2 - 4x + 2 > 0$.
Корни уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, 2 - \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}, +\infty)$.
Пересекая с условием $0 \le x < 3$, получаем $x \in [0, 2 - \sqrt{2})$.
Случай 3: $x \ge 3$.
Тогда $|x| = x$ и $|x - 3| = x - 3$.
$x(x - 3) + x - 2 < 0$
$x^2 - 2x - 2 < 0$
Решение, как в первом случае: $x \in (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$.
Пересечение с условием $x \ge 3$ пусто, так как $1 + \sqrt{3} \approx 2.73 < 3$.
Объединяем решения из всех случаев: $(1 - \sqrt{3}, 0) \cup [0, 2 - \sqrt{2}) = (1 - \sqrt{3}, 2 - \sqrt{2})$.
Ответ: $x \in (1 - \sqrt{3}, 2 - \sqrt{2})$.