Номер 133, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0, \\ x^2 + 2xy - y^2 = 28; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x^2 + xy - 3y^2 = 3, \\ x^2 - 4xy - 3y^2 = 9. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0, \\ x^2 + 2xy - y^2 = 28. \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + 3xy - 10y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Его можно решить как квадратное уравнение относительно переменной $x$.

Рассчитаем дискриминант: $D = (3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10y^2) = 9y^2 + 40y^2 = 49y^2 = (7y)^2$.

Найдем корни для $x$: $x = \frac{-3y \pm \sqrt{(7y)^2}}{2} = \frac{-3y \pm 7y}{2}$.

Это дает нам два возможных случая:

1. $x_1 = \frac{-3y + 7y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$.

2. $x_2 = \frac{-3y - 7y}{2} = \frac{-10y}{2} = -5y$.

Теперь подставим эти выражения для $x$ во второе уравнение системы $x^2 + 2xy - y^2 = 28$.

Рассмотрим случай 1: $x = 2y$

$(2y)^2 + 2(2y)y - y^2 = 28$
$4y^2 + 4y^2 - y^2 = 28$
$7y^2 = 28$
$y^2 = 4$
Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2y_1 = 2 \cdot 2 = 4$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.

Рассмотрим случай 2: $x = -5y$

$(-5y)^2 + 2(-5y)y - y^2 = 28$
$25y^2 - 10y^2 - y^2 = 28$
$14y^2 = 28$
$y^2 = 2$
Отсюда $y_3 = \sqrt{2}$ и $y_4 = -\sqrt{2}$.

Если $y_3 = \sqrt{2}$, то $x_3 = -5y_3 = -5\sqrt{2}$.

Если $y_4 = -\sqrt{2}$, то $x_4 = -5y_4 = -5(-\sqrt{2}) = 5\sqrt{2}$.

Таким образом, мы получили еще две пары решений: $(-5\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(5\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(4, 2)$, $(-4, -2)$, $(-5\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(5\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 + xy - 3y^2 = 3, \\ x^2 - 4xy - 3y^2 = 9. \end{cases} $

Для решения этой системы приведем оба уравнения к одному свободному члену. Умножим первое уравнение на 3:

$3 \cdot (2x^2 + xy - 3y^2) = 3 \cdot 3$
$6x^2 + 3xy - 9y^2 = 9$

Теперь у нас есть два уравнения, правые части которых равны 9. Приравняем их левые части:

$6x^2 + 3xy - 9y^2 = x^2 - 4xy - 3y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:

$5x^2 + 7xy - 6y^2 = 0$

Решим это уравнение как квадратное относительно $x$.

Дискриминант: $D = (7y)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6y^2) = 49y^2 + 120y^2 = 169y^2 = (13y)^2$.

Корни для $x$: $x = \frac{-7y \pm \sqrt{(13y)^2}}{2 \cdot 5} = \frac{-7y \pm 13y}{10}$.

Получаем два случая:

1. $x_1 = \frac{-7y + 13y}{10} = \frac{6y}{10} = \frac{3}{5}y$.

2. $x_2 = \frac{-7y - 13y}{10} = \frac{-20y}{10} = -2y$.

Подставим полученные выражения в любое из исходных уравнений. Используем второе: $x^2 - 4xy - 3y^2 = 9$.

Рассмотрим случай 1: $x = \frac{3}{5}y$

$(\frac{3}{5}y)^2 - 4(\frac{3}{5}y)y - 3y^2 = 9$
$\frac{9}{25}y^2 - \frac{12}{5}y^2 - 3y^2 = 9$
Умножим на 25: $9y^2 - 60y^2 - 75y^2 = 225$
$-126y^2 = 225$
$y^2 = -\frac{225}{126}$

В этом случае действительных решений нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Рассмотрим случай 2: $x = -2y$

$(-2y)^2 - 4(-2y)y - 3y^2 = 9$
$4y^2 + 8y^2 - 3y^2 = 9$
$9y^2 = 9$
$y^2 = 1$
Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -2y_1 = -2 \cdot 1 = -2$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -2y_2 = -2 \cdot (-1) = 2$.

Мы получили две пары решений: $(-2, 1)$ и $(2, -1)$.

Ответ: $(-2, 1)$, $(2, -1)$.