Номер 139, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Из двух городов, расстояние между которыми равно 240 км, отправились навстречу друг другу два автомобиля и встретились на середине пути, причём один из них выехал на 1 ч раньше другого. Если бы автомобили выехали одновременно, то они встретились бы через 2 ч 24 мин. Найдите скорость каждого автомобиля.

Пусть $v_1$ — скорость первого автомобиля (в км/ч) и $v_2$ — скорость второго автомобиля (в км/ч).

1. Условие при одновременном выезде.

Если автомобили выехали одновременно, они встретились бы через 2 часа 24 минуты. Переведем время в часы: $2 \text{ ч } 24 \text{ мин } = 2 + \frac{24}{60} \text{ ч } = 2 + 0.4 \text{ ч } = 2.4 \text{ ч}$. При движении навстречу друг другу их скорости складываются (скорость сближения). За 2.4 часа они вместе преодолели расстояние в 240 км. Составим первое уравнение: $(v_1 + v_2) \cdot 2.4 = 240$ $v_1 + v_2 = \frac{240}{2.4}$ $v_1 + v_2 = 100$

2. Условие, когда один выехал раньше.

В этом случае автомобили встретились на середине пути, то есть каждый из них проехал по $240 / 2 = 120$ км. Один из автомобилей выехал на 1 час раньше другого. Это означает, что время, затраченное одним автомобилем на путь в 120 км, на 1 час больше, чем время другого. Пусть первый автомобиль был в пути $t_1$ часов, а второй — $t_2$ часов. $t_1 = \frac{120}{v_1}$ $t_2 = \frac{120}{v_2}$ Разница во времени составляет 1 час. Предположим, что первый автомобиль медленнее второго ($v_1 < v_2$), тогда он затратил на путь больше времени и выехал раньше. Получаем второе уравнение: $t_1 - t_2 = 1$ $\frac{120}{v_1} - \frac{120}{v_2} = 1$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений: $\begin{cases} v_1 + v_2 = 100 \\ \frac{120}{v_1} - \frac{120}{v_2} = 1 \end{cases}$ Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 100 - v_1$ Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{120}{v_1} - \frac{120}{100 - v_1} = 1$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{120(100 - v_1) - 120v_1}{v_1(100 - v_1)} = 1$ $\frac{12000 - 120v_1 - 120v_1}{100v_1 - v_1^2} = 1$ $12000 - 240v_1 = 100v_1 - v_1^2$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $v_1^2 - 100v_1 - 240v_1 + 12000 = 0$ $v_1^2 - 340v_1 + 12000 = 0$ Решим это уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-340)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12000 = 115600 - 48000 = 67600$ $\sqrt{D} = \sqrt{67600} = 260$ Найдем корни уравнения: $v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{340 + 260}{2} = \frac{600}{2} = 300$ $v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{340 - 260}{2} = \frac{80}{2} = 40$

4. Анализ корней и нахождение скоростей.

Рассмотрим оба варианта для $v_1$:

1) Если $v_1 = 300$ км/ч, то $v_2 = 100 - v_1 = 100 - 300 = -200$ км/ч. Этот корень не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной.

2) Если $v_1 = 40$ км/ч, то $v_2 = 100 - v_1 = 100 - 40 = 60$ км/ч. Это решение является верным.

Проверим: время первого автомобиля $120/40 = 3$ часа. Время второго $120/60 = 2$ часа. Разница во времени $3-2=1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость одного автомобиля 40 км/ч, скорость другого автомобиля — 60 км/ч.