Номер 143, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. Одновременно из одного села в одном направлении выехали два велосипедиста: первый со скоростью 12 км/ч, а второй — 15 км/ч. Через 4 ч из этого села в том же направлении выехал автомобиль. Найдите скорость автомобиля, если известно, что он догнал второго велосипедиста через 20 мин после того, как догнал первого.

Для решения задачи введем переменные:

• $v_1 = 12$ км/ч — скорость первого велосипедиста.
• $v_2 = 15$ км/ч — скорость второго велосипедиста.
• $x$ км/ч — искомая скорость автомобиля.
• $t_0 = 4$ ч — время, через которое после велосипедистов выехал автомобиль.

1. Определим, какое расстояние проехали велосипедисты к моменту выезда автомобиля. Автомобиль выехал через 4 часа после велосипедистов.

Расстояние, которое проехал первый велосипедист за 4 часа:

$S_1 = v_1 \cdot t_0 = 12 \cdot 4 = 48$ км.

Расстояние, которое проехал второй велосипедист за 4 часа:

$S_2 = v_2 \cdot t_0 = 15 \cdot 4 = 60$ км.

Эти расстояния представляют собой начальное отставание автомобиля от каждого из велосипедистов в момент его старта.

2. Составим уравнения движения для догоняющего автомобиля. Пусть $t_1$ — время, через которое автомобиль догонит первого велосипедиста (с момента своего выезда), и $t_2$ — время, через которое он догонит второго велосипедиста.

Скорость сближения автомобиля с первым велосипедистом равна $x - v_1 = x - 12$ км/ч. За время $t_1$ автомобиль должен сократить разрыв в 48 км. Следовательно:

$t_1 = \frac{S_1}{x - v_1} = \frac{48}{x - 12}$

Скорость сближения автомобиля со вторым велосипедистом равна $x - v_2 = x - 15$ км/ч. За время $t_2$ автомобиль должен сократить разрыв в 60 км. Следовательно:

$t_2 = \frac{S_2}{x - v_2} = \frac{60}{x - 15}$

3. Используем условие задачи. Известно, что автомобиль догнал второго велосипедиста через 20 минут после того, как догнал первого. Переведем 20 минут в часы:

20 мин $= \frac{20}{60}$ ч $= \frac{1}{3}$ ч.

Это означает, что время $t_2$ на $\frac{1}{3}$ часа больше, чем время $t_1$:

$t_2 - t_1 = \frac{1}{3}$

4. Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:

$\frac{60}{x - 15} - \frac{48}{x - 12} = \frac{1}{3}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{60(x - 12) - 48(x - 15)}{(x - 15)(x - 12)} = \frac{1}{3}$

$\frac{60x - 720 - 48x + 720}{x^2 - 12x - 15x + 180} = \frac{1}{3}$

$\frac{12x}{x^2 - 27x + 180} = \frac{1}{3}$

Используем свойство пропорции:

$3 \cdot 12x = 1 \cdot (x^2 - 27x + 180)$

$36x = x^2 - 27x + 180$

$x^2 - 27x - 36x + 180 = 0$

$x^2 - 63x + 180 = 0$

5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-63)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 3969 - 720 = 3249$

$\sqrt{D} = \sqrt{3249} = 57$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{63 + 57}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{63 - 57}{2} = \frac{6}{2} = 3$

6. Проанализируем полученные решения. Скорость автомобиля $x$ должна быть больше скоростей велосипедистов, чтобы он мог их догнать. Скорость второго велосипедиста — 15 км/ч. Таким образом, должно выполняться условие $x > 15$.

Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.

Корень $x_1 = 60$ удовлетворяет условию $60 > 15$.

Следовательно, скорость автомобиля равна 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.