Номер 146, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста, если один из них потратил на путь из одного села в другое на 1 ч 40 мин меньше, чем другой.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго велосипедистов в км/ч соответственно.

Велосипедисты выехали одновременно навстречу друг другу из двух сёл, расстояние между которыми $S = 50$ км, и встретились через $t_{встр} = 2$ ч. При движении навстречу их скорости складываются. Скорость их сближения равна $v_1 + v_2$.

За время до встречи они вместе преодолели всё расстояние $S$. Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:
$(v_1 + v_2) \cdot t_{встр} = S$
$(v_1 + v_2) \cdot 2 = 50$
$v_1 + v_2 = 25$

Известно, что один из велосипедистов потратил на весь путь из одного села в другое на 1 ч 40 мин меньше, чем другой. Переведем разницу во времени в часы:
$\Delta t = 1 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 1 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{5}{3} \text{ ч}$.

Время, которое потратил бы первый велосипедист на весь путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{50}{v_1}$.
Время, которое потратил бы второй велосипедист, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{50}{v_2}$.

Предположим, что скорость первого велосипедиста больше скорости второго ($v_1 > v_2$), тогда он потратит на весь путь меньше времени ($t_1 < t_2$). Составим второе уравнение:
$t_2 - t_1 = \Delta t$
$\frac{50}{v_2} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{3}$

Получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 25 \\ \frac{50}{v_2} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{3} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 25 - v_1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{50}{25 - v_1} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{3}$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:
$\frac{10}{25 - v_1} - \frac{10}{v_1} = \frac{1}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{10v_1 - 10(25 - v_1)}{v_1(25 - v_1)} = \frac{1}{3}$
$\frac{10v_1 - 250 + 10v_1}{25v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$
$\frac{20v_1 - 250}{25v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$

По свойству пропорции:
$3(20v_1 - 250) = 1(25v_1 - v_1^2)$
$60v_1 - 750 = 25v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$v_1^2 + 60v_1 - 25v_1 - 750 = 0$
$v_1^2 + 35v_1 - 750 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750) = 1225 + 3000 = 4225$
$\sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65$
$v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 + 65}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 - 65}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v_1 = 15$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста:
$v_2 = 25 - v_1 = 25 - 15 = 10$ км/ч.

Скорости велосипедистов равны 15 км/ч и 10 км/ч.

Ответ: скорость одного велосипедиста 15 км/ч, а другого — 10 км/ч.