Номер 152, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. Сколько килограммов 30-процентного и сколько килограммов 40-процентного сплавов меди надо взять, чтобы получить 50 кг 36-процентного сплава?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — масса 30-процентного сплава в килограммах.

Пусть $y$ — масса 40-процентного сплава в килограммах.

1. Составление системы уравнений

Согласно условию, общая масса полученного сплава равна 50 кг. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 50$

Масса чистой меди в первом сплаве составляет $0.3x$ кг, а во втором — $0.4y$ кг. В итоговом сплаве массой 50 кг содержится 36% меди, то есть $50 \cdot 0.36 = 18$ кг чистой меди. Сумма масс меди в исходных сплавах должна быть равна массе меди в конечном сплаве. Это дает нам второе уравнение:

$0.3x + 0.4y = 18$

Таким образом, мы получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 50 \\ 0.3x + 0.4y = 18 \end{cases}$

2. Решение системы уравнений

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 50 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0.3(50 - y) + 0.4y = 18$

Раскроем скобки:

$15 - 0.3y + 0.4y = 18$

Приведем подобные члены:

$0.1y = 18 - 15$

$0.1y = 3$

Найдем $y$:

$y = \frac{3}{0.1} = 30$

Итак, масса 40-процентного сплава равна 30 кг.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = 50 - 30$

$x = 20$

Следовательно, масса 30-процентного сплава равна 20 кг.

3. Проверка

Проверим общую массу: $20 \text{ кг} + 30 \text{ кг} = 50 \text{ кг}$.

Проверим массу меди: $(0.3 \cdot 20 \text{ кг}) + (0.4 \cdot 30 \text{ кг}) = 6 \text{ кг} + 12 \text{ кг} = 18 \text{ кг}$.

Концентрация меди в итоговом сплаве: $\frac{18 \text{ кг}}{50 \text{ кг}} \cdot 100\% = 0.36 \cdot 100\% = 36\%$.

Решение верное.

Ответ: необходимо взять 20 кг 30-процентного сплава и 30 кг 40-процентного сплава.