Страница 64 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. Сколько килограммов 30-процентного и сколько килограммов 40-процентного сплавов меди надо взять, чтобы получить 50 кг 36-процентного сплава?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — масса 30-процентного сплава в килограммах.

Пусть $y$ — масса 40-процентного сплава в килограммах.

1. Составление системы уравнений

Согласно условию, общая масса полученного сплава равна 50 кг. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 50$

Масса чистой меди в первом сплаве составляет $0.3x$ кг, а во втором — $0.4y$ кг. В итоговом сплаве массой 50 кг содержится 36% меди, то есть $50 \cdot 0.36 = 18$ кг чистой меди. Сумма масс меди в исходных сплавах должна быть равна массе меди в конечном сплаве. Это дает нам второе уравнение:

$0.3x + 0.4y = 18$

Таким образом, мы получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 50 \\ 0.3x + 0.4y = 18 \end{cases}$

2. Решение системы уравнений

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 50 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0.3(50 - y) + 0.4y = 18$

Раскроем скобки:

$15 - 0.3y + 0.4y = 18$

Приведем подобные члены:

$0.1y = 18 - 15$

$0.1y = 3$

Найдем $y$:

$y = \frac{3}{0.1} = 30$

Итак, масса 40-процентного сплава равна 30 кг.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = 50 - 30$

$x = 20$

Следовательно, масса 30-процентного сплава равна 20 кг.

3. Проверка

Проверим общую массу: $20 \text{ кг} + 30 \text{ кг} = 50 \text{ кг}$.

Проверим массу меди: $(0.3 \cdot 20 \text{ кг}) + (0.4 \cdot 30 \text{ кг}) = 6 \text{ кг} + 12 \text{ кг} = 18 \text{ кг}$.

Концентрация меди в итоговом сплаве: $\frac{18 \text{ кг}}{50 \text{ кг}} \cdot 100\% = 0.36 \cdot 100\% = 36\%$.

Решение верное.

Ответ: необходимо взять 20 кг 30-процентного сплава и 30 кг 40-процентного сплава.

153. Вкладчик положил в банк 40 000 р. За первый год ему начислили деньги по установленной процентной ставке, а во второй год банковский процент был уменьшен на 6 %. В конце второго года на счёте оказалось 45 760 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Пусть $x$ — это процентная ставка в первый год. Тогда размер вклада через год увеличится в $(1 + \frac{x}{100})$ раз.

Во второй год процентная ставка была уменьшена на 6 процентных пунктов и составила $(x - 6)$ %. Размер вклада за второй год увеличится в $(1 + \frac{x-6}{100})$ раз.

Начальная сумма вклада составляла 40 000 рублей. Через два года сумма на счёте стала 45 760 рублей. Можем составить уравнение, отражающее изменение суммы вклада за два года:

$40000 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x-6}{100}) = 45760$

Разделим обе части уравнения на 40000:

$(1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x-6}{100}) = \frac{45760}{40000}$

$(\frac{100+x}{100}) \cdot (\frac{100+x-6}{100}) = 1.144$

$\frac{(100+x)(94+x)}{10000} = 1.144$

Умножим обе части уравнения на 10000, чтобы избавиться от знаменателя:

$(100+x)(94+x) = 11440$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$9400 + 100x + 94x + x^2 = 11440$

Приведём подобные слагаемые и перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 194x + 9400 - 11440 = 0$

$x^2 + 194x - 2040 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 194^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2040) = 37636 + 8160 = 45796$

Найдём корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{45796} = 214$

Теперь найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-194 + 214}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-194 - 214}{2} = \frac{-408}{2} = -204$

Так как процентная ставка по вкладу не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -204$ не является решением задачи. Следовательно, процентная ставка в первый год составляла 10%.

Проверим решение:

1. Сумма после первого года при ставке 10%: $40000 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 40000 \cdot 1.1 = 44000$ р.

2. Ставка во второй год: $10\% - 6\% = 4\%$.

3. Итоговая сумма после второго года: $44000 \cdot (1 + \frac{4}{100}) = 44000 \cdot 1.04 = 45760$ р.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 10%.

154. Водно-солевой раствор содержал 4 кг соли. Через некоторое время 4 кг воды испарилось, вследствие чего концентрация соли в растворе увеличилась на 5 %. Какой была первоначальная масса раствора?

Пусть $x$ кг — первоначальная масса водно-солевого раствора.

Масса соли в растворе составляет 4 кг. Тогда первоначальная концентрация соли в растворе равна $C_1 = \frac{4}{x}$.

После того как 4 кг воды испарилось, масса раствора стала $(x - 4)$ кг. Масса соли при этом не изменилась и осталась равной 4 кг. Новая концентрация соли в растворе стала $C_2 = \frac{4}{x - 4}$.

По условию задачи, новая концентрация соли на 5% больше первоначальной. Переведем проценты в десятичную дробь: $5\% = 0.05$. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 0.05.

Составим уравнение:

$C_2 - C_1 = 0.05$

$\frac{4}{x - 4} - \frac{4}{x} = 0.05$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{4x - 4(x - 4)}{x(x - 4)} = 0.05$

$\frac{4x - 4x + 16}{x^2 - 4x} = 0.05$

$\frac{16}{x^2 - 4x} = 0.05$

Теперь решим это уравнение. Умножим обе части на $(x^2 - 4x)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 4$ (что очевидно, так как масса раствора не может быть нулевой или равной массе испарившейся воды).

$16 = 0.05(x^2 - 4x)$

Разделим обе части на 0.05 (что то же самое, что умножить на 20):

$16 / 0.05 = x^2 - 4x$

$320 = x^2 - 4x$

Получили квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 320 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{1296}}{2} = \frac{4 \pm 36}{2}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{4 + 36}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Второй корень:

$x_2 = \frac{4 - 36}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как масса раствора не может быть отрицательной, второй корень нам не подходит. Следовательно, первоначальная масса раствора была 20 кг.

Проверка:
Первоначальная концентрация: $\frac{4}{20} = 0.2$ или 20%.
Масса раствора после испарения: $20 - 4 = 16$ кг.
Новая концентрация: $\frac{4}{16} = 0.25$ или 25%.
Разница в концентрациях: $25\% - 20\% = 5\%$. Условие задачи выполняется.

Ответ: 20 кг.

155. Известно, что $x = 12,1 \pm 0,2$. Какому из данных чисел может быть равным точное значение $x$:

1) 12,4;

2) 12;

3) 11,8;

4) 12,5?

Запись $x = 12,1 \pm 0,2$ означает, что точное значение $x$ находится в интервале, который можно представить в виде двойного неравенства.

Найдем нижнюю границу этого интервала, вычитая погрешность из приближенного значения:
$12,1 - 0,2 = 11,9$

Найдем верхнюю границу интервала, прибавляя погрешность к приближенному значению:
$12,1 + 0,2 = 12,3$

Таким образом, точное значение $x$ должно удовлетворять условию $11,9 \le x \le 12,3$, то есть принадлежать отрезку $[11,9; 12,3]$.

Теперь проверим, какое из предложенных чисел принадлежит этому отрезку.

1) $12,4$: это число не принадлежит отрезку, так как $12,4 > 12,3$.

2) $12$: это число принадлежит отрезку, так как выполняется двойное неравенство $11,9 \le 12 \le 12,3$.

3) $11,8$: это число не принадлежит отрезку, так как $11,8 < 11,9$.

4) $12,5$: это число не принадлежит отрезку, так как $12,5 > 12,3$.

Следовательно, единственное число из данных, которое может быть равным точному значению $x$, это $12$.

Ответ: 2

156. Найдите абсолютную погрешность приближения числа $\frac{1}{7}$ числом:

1) 0,14;

2) 0,15;

3) 0,143.

Абсолютная погрешность приближения – это модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением. Если $x$ – точное значение, а $a$ – приближённое, то абсолютная погрешность $\Delta$ вычисляется по формуле:

$\Delta = |x - a|$

В данной задаче точное значение $x = \frac{1}{7}$.

1) Найдём абсолютную погрешность для приближения числом $a_1 = 0,14$.

Представим $0,14$ в виде обыкновенной дроби: $0,14 = \frac{14}{100} = \frac{7}{50}$.

Вычислим абсолютную погрешность:

$\Delta_1 = |\frac{1}{7} - 0,14| = |\frac{1}{7} - \frac{7}{50}|$

Приведём дроби к общему знаменателю $7 \times 50 = 350$:

$\Delta_1 = |\frac{1 \cdot 50}{350} - \frac{7 \cdot 7}{350}| = |\frac{50 - 49}{350}| = |\frac{1}{350}| = \frac{1}{350}$.

Ответ: $\frac{1}{350}$.

2) Найдём абсолютную погрешность для приближения числом $a_2 = 0,15$.

Представим $0,15$ в виде обыкновенной дроби: $0,15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$.

Вычислим абсолютную погрешность:

$\Delta_2 = |\frac{1}{7} - 0,15| = |\frac{1}{7} - \frac{3}{20}|$

Приведём дроби к общему знаменателю $7 \times 20 = 140$:

$\Delta_2 = |\frac{1 \cdot 20}{140} - \frac{3 \cdot 7}{140}| = |\frac{20 - 21}{140}| = |-\frac{1}{140}| = \frac{1}{140}$.

Ответ: $\frac{1}{140}$.

3) Найдём абсолютную погрешность для приближения числом $a_3 = 0,143$.

Представим $0,143$ в виде обыкновенной дроби: $0,143 = \frac{143}{1000}$.

Вычислим абсолютную погрешность:

$\Delta_3 = |\frac{1}{7} - 0,143| = |\frac{1}{7} - \frac{143}{1000}|$

Приведём дроби к общему знаменателю $7 \times 1000 = 7000$:

$\Delta_3 = |\frac{1 \cdot 1000}{7000} - \frac{143 \cdot 7}{7000}| = |\frac{1000 - 1001}{7000}| = |-\frac{1}{7000}| = \frac{1}{7000}$.

Ответ: $\frac{1}{7000}$.

157. В справочнике указано, что плотность платины равна $21,5 \text{ г}/\text{см}^3$. С какой точностью указано приближённое значение плотности платины?

Приближённое значение плотности платины дано как 21,5 г/см³. В этом числе последняя значащая цифра, 5, находится в разряде десятых. Это означает, что значение было округлено до десятых долей.

По определению, точность приближённого значения, полученного в результате округления, равна половине единицы того разряда, до которого производилось округление.

В данном случае округление произведено до десятых, то есть до 0,1. Следовательно, точность (или абсолютная погрешность) равна:
$ \frac{0,1}{2} = 0,05 $ г/см³.

Это означает, что истинное значение плотности платины $ \rho $ лежит в интервале:
$ 21,5 - 0,05 \le \rho < 21,5 + 0,05 $
$ 21,45 \le \rho < 21,55 $

Таким образом, приближённое значение плотности платины указано с точностью до 0,05 г/см³.

Ответ: с точностью до 0,05 г/см³.

158. В справочнике указано, что плотность аммиака равна $7,71 \cdot 10^{-4} \text{ г/см}^3$. С какой точностью указано приближённое значение плотности аммиака?

Приближённое значение плотности аммиака представлено в стандартном виде: $\rho \approx 7,71 \cdot 10^{-4}$ г/см³. Точность, с которой указано это значение, определяется по последней значащей цифре этого числа.

Число $7,71 \cdot 10^{-4}$ можно записать в виде десятичной дроби: $0,000771$.

В этой записи значащими цифрами являются $7, 7, 1$. Последняя значащая цифра — это $1$. Определим её разряд. Эта цифра стоит на шестом месте после запятой, что соответствует разряду миллионных ($10^{-6}$).

Следовательно, точность измерения равна единице этого разряда, то есть $10^{-6}$ г/см³.

Другой способ рассуждения:Мантисса числа — $7,71$. Её последняя значащая цифра $1$ находится в разряде сотых. Это означает, что точность мантиссы равна $0,01$ или $10^{-2}$. Чтобы найти точность всего числа, нужно точность мантиссы умножить на порядок (степенной множитель):$Точность = 0,01 \cdot 10^{-4} = 10^{-2} \cdot 10^{-4} = 10^{-6}$ г/см³.

Ответ: $10^{-6}$ г/см³.

159. В справочнике указано, что масса атома натрия равна $3{,}81 \cdot 10^{-26}$ кг. Найдите относительную погрешность этого приближения.

Относительная погрешность приближения ($\delta$) вычисляется как отношение абсолютной погрешности ($\Delta$) к модулю самого приближенного значения ($a$). Формула для вычисления относительной погрешности:

$\delta = \frac{\Delta}{|a|}$

В условии задачи дано приближенное значение массы атома натрия $a = 3,81 \cdot 10^{-26}$ кг. Абсолютная погрешность $\Delta$ не указана. В таких случаях, когда число представлено в виде десятичной дроби, абсолютная погрешность принимается равной половине единицы последнего значащего разряда.

В значащей части числа $3,81$ последний разряд — сотые. Цена этого разряда составляет $0,01$. Следовательно, абсолютная погрешность для мантиссы $3,81$ равна:

$\Delta_{мантиссы} = \frac{0,01}{2} = 0,005$

Тогда абсолютная погрешность для всего значения массы будет:

$\Delta = 0,005 \cdot 10^{-26}$ кг

Теперь мы можем рассчитать относительную погрешность:

$\delta = \frac{\Delta}{|a|} = \frac{0,005 \cdot 10^{-26}}{3,81 \cdot 10^{-26}}$

Сократив множитель $10^{-26}$, получим:

$\delta = \frac{0,005}{3,81} \approx 0,0013123...$

Обычно относительную погрешность выражают в процентах. Для этого необходимо умножить полученное значение на 100%:

$\delta \approx 0,0013123 \cdot 100\% \approx 0,13123...\%$

Округлив результат до двух значащих цифр, получаем approximately $0,13\%$.

Ответ: относительная погрешность этого приближения составляет примерно $0,0013$, или $0,13\%$.

160. В ремонтной организации имеется 15 маляров, 10 штукатуров и 8 плотников. Сколькими способами можно составить бригаду из маляра, штукатура и плотника?

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило умножения. Чтобы найти общее количество способов составить бригаду из одного маляра, одного штукатура и одного плотника, необходимо перемножить количество доступных специалистов в каждой категории.

1. Количество способов выбрать одного маляра из 15 имеющихся равно 15.

2. Количество способов выбрать одного штукатура из 10 имеющихся равно 10.

3. Количество способов выбрать одного плотника из 8 имеющихся равно 8.

Так как выбор специалиста в одной категории не зависит от выбора в других, общее количество способов $N$ для формирования бригады равно произведению числа способов для каждой специальности:
$N = (\text{число маляров}) \times (\text{число штукатуров}) \times (\text{число плотников})$

Подставляем числовые значения:
$N = 15 \times 10 \times 8$

Вычисляем произведение:
$N = 150 \times 8 = 1200$

Таким образом, существует 1200 способов составить требуемую бригаду.

Ответ: 1200