Страница 66 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. В коробке лежат белые и чёрные шары. Сколько белых шаров в коробке, если вероятность вынуть из неё наугад белый шар равна $ \frac{2}{5} $, а чёрных шаров в коробке 27?

171.

Обозначим количество белых шаров в коробке за $W$.

По условию задачи, количество чёрных шаров равно 27.

Тогда общее количество шаров в коробке составляет $W + 27$.

Вероятность вынуть наугад белый шар вычисляется как отношение количества белых шаров (благоприятных исходов) к общему количеству шаров (общему числу исходов):

$P(\text{белый}) = \frac{\text{Количество белых шаров}}{\text{Общее количество шаров}} = \frac{W}{W + 27}$

Из условия известно, что эта вероятность равна $\frac{2}{5}$. Составим и решим уравнение:

$\frac{W}{W + 27} = \frac{2}{5}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$5 \cdot W = 2 \cdot (W + 27)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$5W = 2W + 54$

Перенесём слагаемые с переменной $W$ в левую часть уравнения:

$5W - 2W = 54$

$3W = 54$

Найдём $W$, разделив обе части уравнения на 3:

$W = \frac{54}{3}$

$W = 18$

Таким образом, в коробке 18 белых шаров.

Проверка: если в коробке 18 белых и 27 чёрных шаров, то всего шаров $18 + 27 = 45$. Вероятность вынуть белый шар составляет $\frac{18}{45}$. Сократив дробь на 9, получаем $\frac{2}{5}$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 18

172. Четыре карточки пронумерованы числами 1, 2, 3 и 4. Какова вероятность того, что сумма номеров двух наугад выбранных карточек будет нечётным числом?

Для решения задачи по теории вероятностей необходимо определить общее количество возможных исходов и количество благоприятных исходов.

1. Найдем общее число исходов.

У нас есть 4 карточки, из которых нужно выбрать 2. Порядок выбора не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (всего карточек), $k=2$ (выбираем карточек). Общее число возможных пар карточек ($N$) равно:

$N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Перечислим все возможные пары номеров: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4). Всего 6 уникальных пар.

2. Найдем число благоприятных исходов.

Благоприятный исход — это когда сумма номеров на двух карточках является нечётным числом. Сумма двух целых чисел нечётна тогда и только тогда, когда одно из чисел чётное, а другое — нечётное.

В наборе чисел {1, 2, 3, 4} у нас есть:

• Два нечётных числа: 1, 3.
• Два чётных числа: 2, 4.

Чтобы получить нечётную сумму, нам нужно выбрать одну нечётную и одну чётную карточку. Давайте перечислим все такие пары (благоприятные исходы, $M$):

• 1 и 2 (сумма 3)
• 1 и 4 (сумма 5)
• 3 и 2 (сумма 5)
• 3 и 4 (сумма 7)

Таким образом, у нас есть 4 благоприятных исхода.

3. Вычислим вероятность.

Вероятность ($P$) события равна отношению числа благоприятных исходов ($M$) к общему числу возможных исходов ($N$):

$P = \frac{M}{N} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

173. В выборке из 20 чисел число 8 встречается 11 раз, число 12 встречается 4 раза и число 16 встречается 5 раз. Найдите среднее значение этой выборки.

Среднее значение выборки (или среднее арифметическое) равно сумме всех чисел в выборке, делённой на их количество.

Общее количество чисел в выборке равно 20.

Для нахождения суммы всех чисел, умножим каждое число на его частоту (количество повторений) и сложим полученные результаты.

1. Сумма чисел, равных 8:
$8 \cdot 11 = 88$

2. Сумма чисел, равных 12:
$12 \cdot 4 = 48$

3. Сумма чисел, равных 16:
$16 \cdot 5 = 80$

Теперь найдем общую сумму всех чисел в выборке:
$88 + 48 + 80 = 216$

Чтобы найти среднее значение, разделим общую сумму на количество чисел в выборке:
$\frac{216}{20} = 10.8$

Ответ: 10.8

174. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах совокупности данных:

1) 2,3; 2,3; 3,2; 3,8; 4,1; 4,3; 5,9;

2) 7, 9, 9, 12, 15, 16, 16, 21, 22, 24.

1)

Дана совокупность данных: 2,3; 2,3; 3,2; 3,8; 4,1; 4,3; 5,9.

Среднее значение:
Среднее значение (среднее арифметическое) – это сумма всех чисел в наборе, деленная на их количество. В наборе 7 чисел.
Сумма всех значений: $S = 2,3 + 2,3 + 3,2 + 3,8 + 4,1 + 4,3 + 5,9 = 25,9$.
Среднее значение: $M = \frac{S}{n} = \frac{25,9}{7} = 3,7$.

Мода:
Мода – это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. В данной совокупности число 2,3 встречается два раза, а все остальные числа – по одному разу.
Следовательно, мода равна 2,3.

Медиана:
Медиана – это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию набора данных.
Упорядоченный ряд: 2,3; 2,3; 3,2; 3,8; 4,1; 4,3; 5,9.
Так как в наборе 7 значений (нечетное количество), медиана равна значению, стоящему в центре, то есть на 4-м месте.
Медиана равна 3,8.

Размах:
Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в наборе данных.
Наибольшее значение: 5,9.
Наименьшее значение: 2,3.
Размах: $R = 5,9 - 2,3 = 3,6$.

Ответ: среднее значение – 3,7; мода – 2,3; медиана – 3,8; размах – 3,6.

2)

Дана совокупность данных: 7, 9, 9, 12, 15, 16, 16, 21, 22, 24.

Среднее значение:
В наборе 10 чисел.
Сумма всех значений: $S = 7 + 9 + 9 + 12 + 15 + 16 + 16 + 21 + 22 + 24 = 151$.
Среднее значение: $M = \frac{S}{n} = \frac{151}{10} = 15,1$.

Мода:
В данном наборе числа 9 и 16 встречаются по два раза, что чаще, чем остальные числа. Следовательно, у этой совокупности две моды.
Моды: 9 и 16.

Медиана:
Данный ряд уже упорядочен по возрастанию: 7, 9, 9, 12, 15, 16, 16, 21, 22, 24.
Так как в наборе 10 значений (четное количество), медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений (5-го и 6-го).
Пятое значение – 15, шестое значение – 16.
Медиана: $\frac{15 + 16}{2} = \frac{31}{2} = 15,5$.

Размах:
Наибольшее значение: 24.
Наименьшее значение: 7.
Размах: $R = 24 - 7 = 17$.

Ответ: среднее значение – 15,1; мода – 9 и 16; медиана – 15,5; размах – 17.

175. В таблице приведено распределение по возрасту отдыхающих в один из летних месяцев в молодёжном спортивном лагере.

Возраст в годах: 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Количество отдыхающих: 12, 18, 20, 32, 19, 18, 17, 24

Найдите:

1) моду полученных данных;

2) относительную частоту, соответствующую возрасту 23 года.

1) моду полученных данных;
Мода статистического ряда данных — это значение, которое встречается в этом ряду наиболее часто. В данной задаче нам нужно найти возраст, которому соответствует наибольшее количество отдыхающих.
Посмотрим на строку "Количество отдыхающих" в таблице: 12, 18, 20, 32, 19, 18, 17, 24.
Наибольшее число в этом ряду — 32.
Теперь посмотрим, какому возрасту соответствует это количество. Из таблицы видно, что 32 отдыхающим было 19 лет.
Следовательно, мода данного распределения равна 19.
Ответ: 19.

2) относительную частоту, соответствующую возрасту 23 года.
Относительная частота — это отношение частоты определенного значения к общему объему выборки (общему числу наблюдений). Она вычисляется по формуле:
$W = \frac{m}{n}$, где $m$ — частота значения (в нашем случае, количество отдыхающих в возрасте 23 года), а $n$ — общее количество отдыхающих.

1. Найдем частоту для возраста 23 года ($m$). Из таблицы видно, что количество отдыхающих в возрасте 23 года равно 24. Таким образом, $m = 24$.

2. Найдем общее количество отдыхающих ($n$), сложив все значения из строки "Количество отдыхающих":
$n = 12 + 18 + 20 + 32 + 19 + 18 + 17 + 24 = 160$

3. Теперь вычислим относительную частоту ($W$):
$W = \frac{m}{n} = \frac{24}{160}$
Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 8:
$W = \frac{24 \div 8}{160 \div 8} = \frac{3}{20}$
Относительную частоту также можно представить в виде десятичной дроби:
$\frac{3}{20} = 0,15$
Ответ: $\frac{3}{20}$ (или 0,15).

176. Опросив 25 мальчиков-девятиклассников о размере их обуви, получили ряд данных: 39 размер, 41 размер, 40 размер, 41 размер, 42 размер, 41 размер, 41 размер, 42 размер, 38 размер, 39 размер, 40 размер, 40 размер, 41 размер, 38 размер, 39 размер, 39 размер, 40 размер, 39 размер, 38 размер, 40 размер, 40 размер, 40 размер, 39 размер, 40 размер, 40 размер. Составьте частотную таблицу и постройте соответствующую гистограмму.

Составьте частотную таблицу

Для составления частотной таблицы необходимо проанализировать предоставленный ряд данных и подсчитать количество повторений (частоту) для каждого уникального размера обуви.
Дан ряд из 25 значений: 39, 41, 40, 41, 42, 41, 41, 42, 38, 39, 40, 40, 41, 38, 39, 39, 40, 39, 38, 40, 40, 40, 39, 40, 40.
Уникальные размеры обуви в этом ряду: 38, 39, 40, 41, 42.
Теперь подсчитаем частоту для каждого размера:

• Размер 38 встречается 3 раза.
• Размер 39 встречается 6 раз.
• Размер 40 встречается 9 раз.
• Размер 41 встречается 5 раз.
• Размер 42 встречается 2 раза.

Проверим общее количество: $3 + 6 + 9 + 5 + 2 = 25$, что соответствует общему числу опрошенных мальчиков.
Теперь составим таблицу на основе этих данных.

Ответ:

Постройте соответствующую гистограмму

Гистограмма — это столбчатая диаграмма, которая наглядно представляет распределение данных. В нашем случае по горизонтальной оси будут отложены размеры обуви, а по вертикальной — частота (количество мальчиков с таким размером). Высота каждого столбца соответствует частоте из таблицы.

Ответ: