Номер 172, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. Четыре карточки пронумерованы числами 1, 2, 3 и 4. Какова вероятность того, что сумма номеров двух наугад выбранных карточек будет нечётным числом?

Для решения задачи по теории вероятностей необходимо определить общее количество возможных исходов и количество благоприятных исходов.

1. Найдем общее число исходов.

У нас есть 4 карточки, из которых нужно выбрать 2. Порядок выбора не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (всего карточек), $k=2$ (выбираем карточек). Общее число возможных пар карточек ($N$) равно:

$N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Перечислим все возможные пары номеров: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4). Всего 6 уникальных пар.

2. Найдем число благоприятных исходов.

Благоприятный исход — это когда сумма номеров на двух карточках является нечётным числом. Сумма двух целых чисел нечётна тогда и только тогда, когда одно из чисел чётное, а другое — нечётное.

В наборе чисел {1, 2, 3, 4} у нас есть:

• Два нечётных числа: 1, 3.
• Два чётных числа: 2, 4.

Чтобы получить нечётную сумму, нам нужно выбрать одну нечётную и одну чётную карточку. Давайте перечислим все такие пары (благоприятные исходы, $M$):

• 1 и 2 (сумма 3)
• 1 и 4 (сумма 5)
• 3 и 2 (сумма 5)
• 3 и 4 (сумма 7)

Таким образом, у нас есть 4 благоприятных исхода.

3. Вычислим вероятность.

Вероятность ($P$) события равна отношению числа благоприятных исходов ($M$) к общему числу возможных исходов ($N$):

$P = \frac{M}{N} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$