Номер 179, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Найдите третий, пятый и сотый члены последовательности ($b_n$), заданной формулой $n$-го члена:

1) $b_n = \frac{6}{n+1};$

2) $b_n = 0,1n + 0,3;$

3) $b_n = 6n - n^2;$

4) $b_n = (-1)^n + (-1)^{n+2}.$

Для нахождения указанных членов последовательности необходимо подставить соответствующие номера (n=3, n=5 и n=100) в формулу n-го члена.

1) Для последовательности, заданной формулой $b_n = \frac{6}{n+1}$:
Третий член ($n=3$): $b_3 = \frac{6}{3+1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Пятый член ($n=5$): $b_5 = \frac{6}{5+1} = \frac{6}{6} = 1$.
Сотый член ($n=100$): $b_{100} = \frac{6}{100+1} = \frac{6}{101}$.
Ответ: $b_3 = 1,5$; $b_5 = 1$; $b_{100} = \frac{6}{101}$.

2) Для последовательности, заданной формулой $b_n = 0,1n + 0,3$:
Третий член ($n=3$): $b_3 = 0,1 \cdot 3 + 0,3 = 0,3 + 0,3 = 0,6$.
Пятый член ($n=5$): $b_5 = 0,1 \cdot 5 + 0,3 = 0,5 + 0,3 = 0,8$.
Сотый член ($n=100$): $b_{100} = 0,1 \cdot 100 + 0,3 = 10 + 0,3 = 10,3$.
Ответ: $b_3 = 0,6$; $b_5 = 0,8$; $b_{100} = 10,3$.

3) Для последовательности, заданной формулой $b_n = 6n - n^2$:
Третий член ($n=3$): $b_3 = 6 \cdot 3 - 3^2 = 18 - 9 = 9$.
Пятый член ($n=5$): $b_5 = 6 \cdot 5 - 5^2 = 30 - 25 = 5$.
Сотый член ($n=100$): $b_{100} = 6 \cdot 100 - 100^2 = 600 - 10000 = -9400$.
Ответ: $b_3 = 9$; $b_5 = 5$; $b_{100} = -9400$.

4) Для последовательности, заданной формулой $b_n = (-1)^n + (-1)^{n+2}$:
Заметим, что $(-1)^{n+2} = (-1)^n \cdot (-1)^2 = (-1)^n \cdot 1 = (-1)^n$. Тогда формулу можно упростить: $b_n = (-1)^n + (-1)^n = 2 \cdot (-1)^n$.
Третий член ($n=3$): $b_3 = 2 \cdot (-1)^3 = 2 \cdot (-1) = -2$.
Пятый член ($n=5$): $b_5 = 2 \cdot (-1)^5 = 2 \cdot (-1) = -2$.
Сотый член ($n=100$): $b_{100} = 2 \cdot (-1)^{100} = 2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: $b_3 = -2$; $b_5 = -2$; $b_{100} = 2$.