Номер 185, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Подберите одну из возможных формул $n$-го члена по последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) 1, 9, 25, 49, 81, ...;

2) $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{5}{8}$, ...;

3) 1, -2, 3, -4, 5, ...;

4) 0, 1, 0, $\frac{1}{2}$, 0, $\frac{1}{3}$, 0, $\frac{1}{4}$, ...

1) Рассмотрим последовательность: 1, 9, 25, 49, 81, ... .
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
$a_1 = 1 = 1^2$
$a_2 = 9 = 3^2$
$a_3 = 25 = 5^2$
$a_4 = 49 = 7^2$
$a_5 = 81 = 9^2$
Видно, что члены последовательности являются квадратами последовательных нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, ... .
Формула для n-го нечетного числа — это $2n-1$.
Следовательно, формула для n-го члена данной последовательности — это квадрат n-го нечетного числа.
$a_n = (2n-1)^2$.
Проверим: $a_1 = (2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1$; $a_2 = (2 \cdot 2 - 1)^2 = 3^2 = 9$; $a_3 = (2 \cdot 3 - 1)^2 = 5^2 = 25$. Формула верна.
Ответ: $a_n = (2n-1)^2$

2) Рассмотрим последовательность: $\frac{1}{4}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{4}{7}, \frac{5}{8}, ...$ .
Для удобства представим третий член $\frac{1}{2}$ в виде $\frac{3}{6}$. Тогда последовательность примет вид: $\frac{1}{4}, \frac{2}{5}, \frac{3}{6}, \frac{4}{7}, \frac{5}{8}, ...$ .
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Рассмотрим числители: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Числитель n-го члена равен $n$.
Рассмотрим знаменатели: 4, 5, 6, 7, 8, ... . Знаменатель n-го члена равен $n+3$.
Таким образом, общая формула для n-го члена последовательности: $a_n = \frac{n}{n+3}$.
Проверим: $a_1 = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$; $a_2 = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$; $a_3 = \frac{3}{3+3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Формула верна.
Ответ: $a_n = \frac{n}{n+3}$

3) Рассмотрим последовательность: 1, -2, 3, -4, 5, ... .
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Абсолютные значения членов последовательности: 1, 2, 3, 4, 5, ... , что соответствует номеру члена $n$.
Знаки членов чередуются, начиная с плюса: +, -, +, -, ... .
Такое чередование знаков можно получить с помощью множителя $(-1)^{n+1}$ или $(-1)^{n-1}$.
Проверим множитель $(-1)^{n+1}$:
При $n=1$: $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$ (положительный знак).
При $n=2$: $(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1$ (отрицательный знак).
При $n=3$: $(-1)^{3+1} = (-1)^4 = 1$ (положительный знак).
Этот множитель подходит.
Объединяя, получаем формулу для n-го члена: $a_n = (-1)^{n+1} \cdot n$.
Ответ: $a_n = (-1)^{n+1}n$

4) Рассмотрим последовательность: 0, 1, 0, $\frac{1}{2}$, 0, $\frac{1}{3}$, 0, $\frac{1}{4}$, ... .
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Заметим, что все члены с нечетными номерами ($n=1, 3, 5, ...$) равны нулю.
Все члены с четными номерами ($n=2, 4, 6, 8, ...$) отличны от нуля.
$a_2 = 1$
$a_4 = \frac{1}{2}$
$a_6 = \frac{1}{3}$
$a_8 = \frac{1}{4}$
Для четного $n$, которое можно представить как $n=2k$ (где $k=1, 2, 3, ...$), член последовательности равен $a_{2k} = \frac{1}{k}$.
Так как $k = n/2$, то для четных $n$ формула имеет вид $a_n = \frac{1}{n/2} = \frac{2}{n}$.
Чтобы объединить два случая (для четных и нечетных $n$) в одну формулу, можно использовать множитель, который равен 0 для нечетных $n$ и 1 для четных $n$. Таким множителем является выражение $\frac{1+(-1)^n}{2}$.
Тогда общая формула: $a_n = (\frac{2}{n}) \cdot (\frac{1+(-1)^n}{2}) = \frac{1+(-1)^n}{n}$.
Проверим:
Если $n$ нечетное, $1+(-1)^n = 1-1 = 0$, следовательно $a_n = 0$.
Если $n$ четное, $1+(-1)^n = 1+1 = 2$, следовательно $a_n = \frac{2}{n}$.
Формула верна для всех $n$.
Ответ: $a_n = \frac{1+(-1)^n}{n}$