Страница 68 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Последовательность $(y_n)$ задана формулой $n$-го члена

$y_n = 3 - 5n$. Является ли членом этой последовательности число:

1) 23;

2) -247?

В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Чтобы определить, является ли число членом последовательности, заданной формулой $y_n = 3 - 5n$, необходимо подставить это число вместо $y_n$ и найти $n$. Если $n$ окажется натуральным числом (целым и положительным), то данное число является членом последовательности, а $n$ — его номером.

1) 23
Подставим число 23 в формулу и решим уравнение:
$23 = 3 - 5n$
$5n = 3 - 23$
$5n = -20$
$n = \frac{-20}{5}$
$n = -4$
Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), а мы получили отрицательное число, то 23 не является членом этой последовательности.
Ответ: нет.

2) -247
Подставим число -247 в формулу и решим уравнение:
$-247 = 3 - 5n$
$5n = 3 - (-247)$
$5n = 3 + 247$
$5n = 250$
$n = \frac{250}{5}$
$n = 50$
Поскольку $n = 50$ является натуральным числом, то число -247 является членом данной последовательности. Его номер — 50.
Ответ: да, является. Номер этого члена — 50.

184. Найдите количество отрицательных членов последовательности $ (z_n) $, заданной формулой $n$-го члена $z_n = 8n - 43$.

Для того чтобы найти количество отрицательных членов последовательности $(z_n)$, заданной формулой $n$-го члена $z_n = 8n - 43$, необходимо определить, при каких натуральных значениях $n$ будет выполняться неравенство $z_n < 0$.

Составим и решим это неравенство:

$8n - 43 < 0$

Прибавим 43 к обеим частям неравенства:

$8n < 43$

Разделим обе части на 8:

$n < \frac{43}{8}$

Чтобы понять, какие целые числа удовлетворяют этому условию, преобразуем дробь в десятичную:

$\frac{43}{8} = 5.375$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$n < 5.375$

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$, то есть $n = 1, 2, 3, \ldots$), то нам нужно найти все натуральные числа, которые меньше $5.375$.

Такими числами являются: $1, 2, 3, 4, 5$.

Всего таких чисел 5. Следовательно, последовательность имеет 5 отрицательных членов, с первого по пятый включительно.

Ответ: 5

185. Подберите одну из возможных формул $n$-го члена по последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) 1, 9, 25, 49, 81, ...;

2) $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{5}{8}$, ...;

3) 1, -2, 3, -4, 5, ...;

4) 0, 1, 0, $\frac{1}{2}$, 0, $\frac{1}{3}$, 0, $\frac{1}{4}$, ...

1) Рассмотрим последовательность: 1, 9, 25, 49, 81, ... .
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
$a_1 = 1 = 1^2$
$a_2 = 9 = 3^2$
$a_3 = 25 = 5^2$
$a_4 = 49 = 7^2$
$a_5 = 81 = 9^2$
Видно, что члены последовательности являются квадратами последовательных нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, ... .
Формула для n-го нечетного числа — это $2n-1$.
Следовательно, формула для n-го члена данной последовательности — это квадрат n-го нечетного числа.
$a_n = (2n-1)^2$.
Проверим: $a_1 = (2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1$; $a_2 = (2 \cdot 2 - 1)^2 = 3^2 = 9$; $a_3 = (2 \cdot 3 - 1)^2 = 5^2 = 25$. Формула верна.
Ответ: $a_n = (2n-1)^2$

2) Рассмотрим последовательность: $\frac{1}{4}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{4}{7}, \frac{5}{8}, ...$ .
Для удобства представим третий член $\frac{1}{2}$ в виде $\frac{3}{6}$. Тогда последовательность примет вид: $\frac{1}{4}, \frac{2}{5}, \frac{3}{6}, \frac{4}{7}, \frac{5}{8}, ...$ .
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Рассмотрим числители: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Числитель n-го члена равен $n$.
Рассмотрим знаменатели: 4, 5, 6, 7, 8, ... . Знаменатель n-го члена равен $n+3$.
Таким образом, общая формула для n-го члена последовательности: $a_n = \frac{n}{n+3}$.
Проверим: $a_1 = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$; $a_2 = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$; $a_3 = \frac{3}{3+3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Формула верна.
Ответ: $a_n = \frac{n}{n+3}$

3) Рассмотрим последовательность: 1, -2, 3, -4, 5, ... .
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Абсолютные значения членов последовательности: 1, 2, 3, 4, 5, ... , что соответствует номеру члена $n$.
Знаки членов чередуются, начиная с плюса: +, -, +, -, ... .
Такое чередование знаков можно получить с помощью множителя $(-1)^{n+1}$ или $(-1)^{n-1}$.
Проверим множитель $(-1)^{n+1}$:
При $n=1$: $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$ (положительный знак).
При $n=2$: $(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1$ (отрицательный знак).
При $n=3$: $(-1)^{3+1} = (-1)^4 = 1$ (положительный знак).
Этот множитель подходит.
Объединяя, получаем формулу для n-го члена: $a_n = (-1)^{n+1} \cdot n$.
Ответ: $a_n = (-1)^{n+1}n$

4) Рассмотрим последовательность: 0, 1, 0, $\frac{1}{2}$, 0, $\frac{1}{3}$, 0, $\frac{1}{4}$, ... .
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Заметим, что все члены с нечетными номерами ($n=1, 3, 5, ...$) равны нулю.
Все члены с четными номерами ($n=2, 4, 6, 8, ...$) отличны от нуля.
$a_2 = 1$
$a_4 = \frac{1}{2}$
$a_6 = \frac{1}{3}$
$a_8 = \frac{1}{4}$
Для четного $n$, которое можно представить как $n=2k$ (где $k=1, 2, 3, ...$), член последовательности равен $a_{2k} = \frac{1}{k}$.
Так как $k = n/2$, то для четных $n$ формула имеет вид $a_n = \frac{1}{n/2} = \frac{2}{n}$.
Чтобы объединить два случая (для четных и нечетных $n$) в одну формулу, можно использовать множитель, который равен 0 для нечетных $n$ и 1 для четных $n$. Таким множителем является выражение $\frac{1+(-1)^n}{2}$.
Тогда общая формула: $a_n = (\frac{2}{n}) \cdot (\frac{1+(-1)^n}{2}) = \frac{1+(-1)^n}{n}$.
Проверим:
Если $n$ нечетное, $1+(-1)^n = 1-1 = 0$, следовательно $a_n = 0$.
Если $n$ четное, $1+(-1)^n = 1+1 = 2$, следовательно $a_n = \frac{2}{n}$.
Формула верна для всех $n$.
Ответ: $a_n = \frac{1+(-1)^n}{n}$

186. Найдите четыре первых члена арифметической прогрессии ($a_n$), первый член которой $a_1 = -1,2$, а разность $d = 0,3$.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом $d$, называемым разностью прогрессии. Формула для нахождения следующего члена: $a_{n+1} = a_n + d$.

В условии задачи даны:

• первый член прогрессии $a_1 = -1,2$;
• разность прогрессии $d = 0,3$.

Требуется найти первые четыре члена прогрессии: $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $a_4$.

Первый член уже известен: $a_1 = -1,2$.

Вычислим второй член, прибавив к первому разность прогрессии:

$a_2 = a_1 + d = -1,2 + 0,3 = -0,9$.

Вычислим третий член, прибавив ко второму разность прогрессии:

$a_3 = a_2 + d = -0,9 + 0,3 = -0,6$.

Вычислим четвертый член, прибавив к третьему разность прогрессии:

$a_4 = a_3 + d = -0,6 + 0,3 = -0,3$.

Итак, первые четыре члена арифметической прогрессии: -1,2; -0,9; -0,6; -0,3.

Ответ: -1,2; -0,9; -0,6; -0,3.

187. Первый член арифметической прогрессии $a_1 = -4$, а разность $d = 0.8$. Найдите:

1) $a_4$;

2) $a_{21}$;

3) $a_{36}$.

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии.
В данной задаче нам даны: $a_1 = -4$ и $d = 0,8$.

1) $a_4$
Чтобы найти четвертый член прогрессии, подставим $n = 4$ в формулу:
$a_4 = a_1 + (4-1)d = -4 + 3 \cdot 0,8$
$a_4 = -4 + 2,4 = -1,6$
Ответ: -1,6

2) $a_{21}$
Чтобы найти двадцать первый член прогрессии, подставим $n = 21$ в формулу:
$a_{21} = a_1 + (21-1)d = -4 + 20 \cdot 0,8$
$a_{21} = -4 + 16 = 12$
Ответ: 12

3) $a_{36}$
Чтобы найти тридцать шестой член прогрессии, подставим $n = 36$ в формулу:
$a_{36} = a_1 + (36-1)d = -4 + 35 \cdot 0,8$
$a_{36} = -4 + 28 = 24$
Ответ: 24

188. Найдите разность и двести первый член арифметической прогрессии $5.4; 4.8; 4.2; \ldots$.

Дана арифметическая прогрессия, первыми членами которой являются числа 5,4; 4,8; 4,2; ...

Обозначим члены прогрессии как $(a_n)$.
Первый член $a_1 = 5,4$.
Второй член $a_2 = 4,8$.
Третий член $a_3 = 4,2$.

Разность

Разность арифметической прогрессии (обозначается как $d$) — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Чтобы найти разность, вычтем из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = 4,8 - 5,4 = -0,6$

Для проверки можно вычесть из третьего члена второй:

$d = a_3 - a_2 = 4,2 - 4,8 = -0,6$

Разность постоянна, следовательно, $d = -0,6$.

Ответ: разность прогрессии равна -0,6.

Двести первый член

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

В нашем случае необходимо найти двести первый член, то есть $n = 201$. Нам известны:
- первый член $a_1 = 5,4$;
- разность $d = -0,6$.

Подставим эти значения в формулу:

$a_{201} = 5,4 + (201 - 1) \cdot (-0,6)$

$a_{201} = 5,4 + 200 \cdot (-0,6)$

$a_{201} = 5,4 - 120$

$a_{201} = -114,6$

Ответ: двести первый член прогрессии равен -114,6.

189. Найдите разность арифметической прогрессии $(c_n)$, если:

1) $c_1 = 6, c_9 = 38$;

2) $c_4 = 40, c_{15} = 12$.

1)

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

По условию нам известны первый член прогрессии $c_1 = 6$ и девятый член $c_9 = 38$. Подставим эти значения в формулу для $n=9$:

$c_9 = c_1 + (9-1)d$

$38 = 6 + 8d$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:

$8d = 38 - 6$

$8d = 32$

$d = \frac{32}{8}$

$d = 4$

Ответ: 4.

2)

Воспользуемся общей формулой, связывающей любые два члена арифметической прогрессии: $c_m = c_n + (m-n)d$.

Нам даны четвертый член $c_4 = 40$ и пятнадцатый член $c_{15} = 12$. Подставим эти значения в формулу, где $m=15$ и $n=4$:

$c_{15} = c_4 + (15-4)d$

$12 = 40 + 11d$

Решим это уравнение относительно $d$:

$11d = 12 - 40$

$11d = -28$

$d = -\frac{28}{11}$

Ответ: $-\frac{28}{11}$.

190. Найдите первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, разность которой равна $d$, если:

1) $a_{10} = 19, d = 5;$

2) $a_3 = 16, a_8 = 15.$

1) Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $a_1$ используется формула n-го члена: $a_n = a_1 + d(n-1)$.

По условию задачи даны десятый член прогрессии $a_{10} = 19$, разность $d = 5$ и, соответственно, номер члена $n=10$.

Подставим известные значения в формулу:

$a_{10} = a_1 + d(10-1)$

$19 = a_1 + 5 \cdot 9$

$19 = a_1 + 45$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a_1$:

$a_1 = 19 - 45$

$a_1 = -26$

Ответ: -26

2) В данном случае нам неизвестна разность прогрессии $d$. Сначала найдем её, используя известные члены $a_3 = 16$ и $a_8 = 15$.

Запишем формулу n-го члена для каждого из этих членов:

$a_3 = a_1 + d(3-1) \implies 16 = a_1 + 2d$

$a_8 = a_1 + d(8-1) \implies 15 = a_1 + 7d$

Получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $a_1$ и $d$:

$\begin{cases} a_1 + 2d = 16 \\ a_1 + 7d = 15 \end{cases}$

Чтобы найти разность $d$, вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 7d) - (a_1 + 2d) = 15 - 16$

$5d = -1$

$d = -1/5 = -0,2$

Теперь, зная разность $d$, мы можем найти первый член $a_1$, подставив значение $d$ в любое из уравнений системы. Воспользуемся первым уравнением:

$a_1 + 2 \cdot (-0,2) = 16$

$a_1 - 0,4 = 16$

$a_1 = 16 + 0,4$

$a_1 = 16,4$

Ответ: 16,4

191. Найдите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:

1) 1, 4, 7, 10, ... ;

2) 3, $2\frac{3}{4}$, $2\frac{1}{2}$, $2\frac{1}{4}$, ... ;

3) $5a^3$, $7a^3$, $9a^3$, $11a^3$, ... ;

4) $a-1$, $a-3$, $a-5$, $a-7$, ... .

1) Дана арифметическая прогрессия: $1, 4, 7, 10, \ldots$

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

В данном случае, первый член $a_1 = 1$.

Разность прогрессии $d$ равна разности между любым последующим и предыдущим членом:

$d = 4 - 1 = 3$.

Подставим найденные значения $a_1$ и $d$ в формулу:

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 3$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_n = 1 + 3n - 3$

$a_n = 3n - 2$

Ответ: $a_n = 3n - 2$.

2) Дана арифметическая прогрессия: $3, 2\frac{3}{4}, 2\frac{1}{2}, 2\frac{1}{4}, \ldots$

Первый член прогрессии $a_1 = 3$.

Найдем разность прогрессии:

$d = a_2 - a_1 = 2\frac{3}{4} - 3 = \frac{11}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{1}{4}$.

Подставим значения $a_1$ и $d$ в общую формулу n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n = 3 + (n-1) \cdot (-\frac{1}{4})$

Упростим выражение:

$a_n = 3 - \frac{1}{4}n + \frac{1}{4}$

$a_n = 3\frac{1}{4} - \frac{1}{4}n$

Также можно представить формулу в виде одной дроби:

$a_n = \frac{13}{4} - \frac{n}{4} = \frac{13-n}{4}$

Ответ: $a_n = \frac{13-n}{4}$.

3) Дана арифметическая прогрессия: $5a^3, 7a^3, 9a^3, 11a^3, \ldots$

Первый член прогрессии $a_1 = 5a^3$.

Найдем разность прогрессии:

$d = a_2 - a_1 = 7a^3 - 5a^3 = 2a^3$.

Подставим значения $a_1$ и $d$ в формулу n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n = 5a^3 + (n-1) \cdot 2a^3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a_n = 5a^3 + 2na^3 - 2a^3$

$a_n = 3a^3 + 2na^3$

Вынесем общий множитель $a^3$ за скобки:

$a_n = (3 + 2n)a^3$

Ответ: $a_n = (2n + 3)a^3$.

4) Дана арифметическая прогрессия: $a - 1, a - 3, a - 5, a - 7, \ldots$

Первый член прогрессии $a_1 = a - 1$.

Найдем разность прогрессии:

$d = a_2 - a_1 = (a - 3) - (a - 1) = a - 3 - a + 1 = -2$.

Подставим значения $a_1$ и $d$ в формулу n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n = (a - 1) + (n-1) \cdot (-2)$

Упростим полученное выражение:

$a_n = a - 1 - 2n + 2$

$a_n = a - 2n + 1$

Ответ: $a_n = a + 1 - 2n$.