Страница 75 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Известно, что $a > b$. Сравните:

1) $a+1$ и $b$;

2) $a$ и $b-4$;

3) $a+2$ и $b-3$;

4) $a-3$ и $b-2$.

1) a + 1 и b
По условию дано неравенство $a > b$.
Известно, что для любого числа $a$ справедливо неравенство $a + 1 > a$.
Таким образом, мы имеем два неравенства: $a + 1 > a$ и $a > b$.
Используя свойство транзитивности неравенств (если $x > y$ и $y > z$, то $x > z$), мы можем заключить, что $a + 1 > b$.
Ответ: $a + 1 > b$.

2) a и b - 4
По условию дано неравенство $a > b$.
Для любого числа $b$ справедливо неравенство $b > b - 4$, так как из числа вычитается положительное значение.
Мы имеем два неравенства: $a > b$ и $b > b - 4$.
По свойству транзитивности неравенств, из этого следует, что $a > b - 4$.
Ответ: $a > b - 4$.

3) a + 2 и b - 3
По условию дано неравенство $a > b$.
Для сравнения выражений $a + 2$ и $b - 3$ рассмотрим их разность:
$(a + 2) - (b - 3) = a + 2 - b + 3 = (a - b) + 5$.
Поскольку $a > b$, то их разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$.
Сумма положительного числа $(a - b)$ и положительного числа $5$ также будет положительным числом: $(a - b) + 5 > 0$.
Так как разность $(a + 2) - (b - 3)$ положительна, это означает, что уменьшаемое больше вычитаемого.
Следовательно, $a + 2 > b - 3$.
Ответ: $a + 2 > b - 3$.

4) a - 3 и b - 2
По условию дано неравенство $a > b$.
Для сравнения выражений $a - 3$ и $b - 2$ рассмотрим их разность:
$(a - 3) - (b - 2) = a - 3 - b + 2 = (a - b) - 1$.
Из условия $a > b$ следует, что $a - b > 0$. Однако, знак выражения $(a - b) - 1$ зависит от того, насколько $a$ больше $b$.
Возможны три случая:
1. Если разность $a - b$ больше 1 (например, $a=4$, $b=2$), то $(a - b) - 1 > 0$, и тогда $a - 3 > b - 2$.
2. Если разность $a - b$ равна 1 (например, $a=3$, $b=2$), то $(a - b) - 1 = 0$, и тогда $a - 3 = b - 2$.
3. Если разность $a - b$ меньше 1 (но больше 0, например, $a=2.5$, $b=2$), то $(a - b) - 1 < 0$, и тогда $a - 3 < b - 2$.
Так как результат сравнения может быть любым (больше, меньше или равно), то на основании имеющихся данных сделать однозначный вывод невозможно.
Ответ: Сравнить невозможно.

9. Сравните числа a и 0, если:

1) $3a > 6a;$

2) $\frac{a}{7} > \frac{a}{12};$

3) $-2a > 5a;$

4) $-\frac{a}{10} > -\frac{a}{20}.$

1) Дано неравенство $3a > 6a$. Для того чтобы сравнить $a$ с нулем, решим это неравенство.

Перенесем слагаемое $6a$ в левую часть неравенства, изменив его знак:

$3a - 6a > 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-3a > 0$

Разделим обе части неравенства на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $ > $ на $ < $):

$a < \frac{0}{-3}$

$a < 0$

Ответ: $a < 0$.

2) Дано неравенство $\frac{a}{7} > \frac{a}{12}$.

Перенесем слагаемое $\frac{a}{12}$ в левую часть неравенства:

$\frac{a}{7} - \frac{a}{12} > 0$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $7 \times 12 = 84$:

$\frac{12a}{84} - \frac{7a}{84} > 0$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{12a - 7a}{84} > 0$

$\frac{5a}{84} > 0$

Умножим обе части неравенства на 84. Так как 84 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$5a > 0$

Разделим обе части на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$a > 0$

Ответ: $a > 0$.

3) Дано неравенство $-2a > 5a$.

Перенесем слагаемое $5a$ в левую часть неравенства:

$-2a - 5a > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-7a > 0$

Разделим обе части неравенства на $-7$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$a < \frac{0}{-7}$

$a < 0$

Ответ: $a < 0$.

4) Дано неравенство $-\frac{a}{10} > -\frac{a}{20}$.

Перенесем слагаемое $-\frac{a}{20}$ в левую часть, изменив его знак:

$-\frac{a}{10} + \frac{a}{20} > 0$

Приведем дроби к общему знаменателю 20:

$-\frac{2a}{20} + \frac{a}{20} > 0$

$\frac{-2a + a}{20} > 0$

$\frac{-a}{20} > 0$

Умножим обе части неравенства на 20. Знак неравенства не изменится, так как 20 > 0:

$-a > 0$

Умножим обе части на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$a < 0$

Ответ: $a < 0$.

10. Дано: $a < 0$ и $b > 0$. Сравните:

1) $a - b$ и $0$;

2) $b - a$ и $-b$;

3) $3a - 2b$ и $b$;

4) $\frac{1}{a - 5b}$ и $\frac{1}{b}$.

1) $a - b$ и $0$;

По условию дано, что $a < 0$ (a — отрицательное число) и $b > 0$ (b — положительное число).
Если $b > 0$, то число, ему противоположное, будет отрицательным: $-b < 0$.
Рассмотрим выражение $a - b$. Это то же самое, что и сумма $a + (-b)$.
Мы складываем два отрицательных числа: $a$ и $-b$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна.
Следовательно, $a - b < 0$.
Ответ: $a - b < 0$.

2) $b - a$ и $-b$;

По условию $a < 0$ и $b > 0$.
Если $a < 0$, то число, ему противоположное, будет положительным: $-a > 0$.
Рассмотрим выражение $b - a$. Это то же самое, что и сумма $b + (-a)$.
Мы складываем два положительных числа: $b$ и $-a$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Значит, $b - a > 0$.
Теперь сравним полученное положительное число $b - a$ с числом $-b$. Так как $b > 0$, то $-b < 0$.
Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Следовательно, $b - a > -b$.
Ответ: $b - a > -b$.

3) $3a - 2b$ и $b$;

Чтобы сравнить два выражения, найдём их разность: $(3a - 2b) - b$.
$(3a - 2b) - b = 3a - 3b = 3(a - b)$.
В пункте 1) мы уже установили, что разность $a - b$ отрицательна, то есть $a - b < 0$.
Произведение положительного числа (3) на отрицательное число $(a-b)$ является отрицательным числом.
Значит, $3(a - b) < 0$.
Поскольку разность $(3a - 2b) - b$ отрицательна, это означает, что уменьшаемое ($3a - 2b$) меньше вычитаемого ($b$).
Следовательно, $3a - 2b < b$.
Ответ: $3a - 2b < b$.

4) $\frac{1}{a - 5b}$ и $\frac{1}{b}$.

Оценим знаки выражений в знаменателях дробей.
Знаменатель первой дроби: $a - 5b$. По условию $a < 0$. Так как $b > 0$, то $5b > 0$, а $-5b < 0$. Сумма двух отрицательных чисел ($a$ и $-5b$) есть число отрицательное. Таким образом, $a - 5b < 0$.
Знаменатель второй дроби: $b$. По условию $b > 0$.
Теперь определим знаки самих дробей.
Первая дробь $\frac{1}{a - 5b}$ имеет положительный числитель и отрицательный знаменатель, следовательно, значение всей дроби отрицательно: $\frac{1}{a - 5b} < 0$.
Вторая дробь $\frac{1}{b}$ имеет положительный числитель и положительный знаменатель, следовательно, значение всей дроби положительно: $\frac{1}{b} > 0$.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Следовательно, $\frac{1}{a - 5b} < \frac{1}{b}$.
Ответ: $\frac{1}{a - 5b} < \frac{1}{b}$.

11. Верно ли утверждение:

1) если $a > 4$ и $b > 8$, то $a+b > 12$;

2) если $a > 4$ и $b > 8$, то $a+b > 11$;

3) если $a > 4$ и $b > 8$, то $a+b > 13$;

4) если $a > 4$ и $b > 8$, то $ab > 32$;

5) если $a > 4$ и $b > 8$, то $a-b > -4$;

6) если $a > 4$ и $b > 8$, то $ab > 30$;

7) если $a > 4$ и $b > 8$, то $2a+3b > 32$;

8) если $a > 4$ и $b < 8$, то $a-b > -4$;

9) если $a < 4$ и $b < 8$, то $ab < 32$;

10) если $0 < a < 4$ и $0 < b < 8$, то $ab < 32$;

11) если $a > 4$, то $a^2 > 16$;

12) если $a < 4$, то $a^2 < 16$;

13) если $a > 4$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{4}$;

14) если $a < 4$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{4}$?

1) если a > 4 и b > 8, то a + b > 12;

Сложим два верных неравенства: $a > 4$ и $b > 8$. Так как знаки неравенств одинаковы, мы можем их сложить почленно.

$a + b > 4 + 8$

$a + b > 12$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

2) если a > 4 и b > 8, то a + b > 11;

Из предыдущего пункта мы знаем, что если $a > 4$ и $b > 8$, то $a + b > 12$. Любое число, которое больше 12, автоматически больше 11. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

3) если a > 4 и b > 8, то a + b > 13;

Это утверждение не всегда верно. Приведем контрпример. Пусть $a = 4.1$ (что больше 4) и $b = 8.1$ (что больше 8). Тогда их сумма $a + b = 4.1 + 8.1 = 12.2$. Неравенство $12.2 > 13$ неверно. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

4) если a > 4 и b > 8, то ab > 32;

Так как $a > 4$ и $b > 8$, обе переменные, а также обе части неравенств положительны. Мы можем перемножить эти неравенства.

$a \cdot b > 4 \cdot 8$

$ab > 32$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

5) если a > 4 и b > 8, то a - b > -4;

Это утверждение не всегда верно. Приведем контрпример. Пусть $a = 5$ (что больше 4) и $b = 10$ (что больше 8). Тогда их разность $a - b = 5 - 10 = -5$. Неравенство $-5 > -4$ неверно. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

6) если a > 4 и b > 8, то ab > 30;

Из пункта 4 мы знаем, что если $a > 4$ и $b > 8$, то $ab > 32$. Любое число, которое больше 32, автоматически больше 30. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

7) если a > 4 и b > 8, то 2a + 3b > 32;

Умножим неравенство $a > 4$ на положительное число 2: $2a > 8$.

Умножим неравенство $b > 8$ на положительное число 3: $3b > 24$.

Сложим полученные неравенства:

$2a + 3b > 8 + 24$

$2a + 3b > 32$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

8) если a > 4 и b < 8, то a - b > -4;

Имеем два неравенства: $a > 4$ и $b < 8$. Умножим второе неравенство на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-b > -8$.

Теперь сложим неравенства $a > 4$ и $-b > -8$:

$a + (-b) > 4 + (-8)$

$a - b > -4$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

9) если a < 4 и b < 8, то ab < 32;

Это утверждение не всегда верно, так как переменные $a$ и $b$ могут быть отрицательными. Приведем контрпример. Пусть $a = -5$ (что меньше 4) и $b = -10$ (что меньше 8). Тогда их произведение $ab = (-5) \cdot (-10) = 50$. Неравенство $50 < 32$ неверно. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

10) если 0 < a < 4 и 0 < b < 8, то ab < 32;

В данном случае $a$ и $b$ — положительные числа. Мы можем перемножить неравенства $a < 4$ и $b < 8$.

$a \cdot b < 4 \cdot 8$

$ab < 32$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

11) если a > 4, то a² > 16;

Так как $a > 4$, то $a$ — положительное число. Мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства.

$a^2 > 4^2$

$a^2 > 16$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

12) если a < 4, то a² < 16;

Это утверждение не всегда верно, так как $a$ может быть отрицательным числом. Приведем контрпример. Пусть $a = -5$ (что меньше 4). Тогда $a^2 = (-5)^2 = 25$. Неравенство $25 < 16$ неверно. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

13) если a > 4, то 1/a < 1/4;

Так как $a > 4$, то $a$ и 4 являются положительными числами. При делении 1 на обе части неравенства (или взятии обратной величины) знак неравенства меняется на противоположный.

$\frac{1}{a} < \frac{1}{4}$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

14) если a < 4, то 1/a > 1/4?

Это утверждение не всегда верно. Условие $a < 4$ допускает отрицательные значения $a$, а также $a=0$.

Рассмотрим контрпример. Пусть $a = -2$ (что меньше 4). Тогда $\frac{1}{a} = -\frac{1}{2}$. Неравенство $-\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$ неверно, так как отрицательное число не может быть больше положительного. Также, если $a=0$, выражение $\frac{1}{a}$ не определено. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

12. Дано: $ -3 < a < 2 $. Оцените значение выражения:

1) $3a$;

2) $\frac{a}{2}$;

3) $a+10$;

4) $a-2$;

5) $-5a$;

6) $-\frac{a}{3}$;

7) $3a-1$;

8) $3-4a$.

Дано исходное неравенство: $-3 < a < 2$. На основе этого неравенства оценим значения предложенных выражений.

1) 3a
Чтобы оценить выражение $3a$, умножим все части исходного неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.
$-3 \cdot 3 < a \cdot 3 < 2 \cdot 3$
$-9 < 3a < 6$
Ответ: $-9 < 3a < 6$

2) a/2
Чтобы оценить выражение $\frac{a}{2}$, разделим все части исходного неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.
$\frac{-3}{2} < \frac{a}{2} < \frac{2}{2}$
$-1,5 < \frac{a}{2} < 1$
Ответ: $-1,5 < \frac{a}{2} < 1$

3) a + 10
Чтобы оценить выражение $a + 10$, прибавим число 10 ко всем частям исходного неравенства.
$-3 + 10 < a + 10 < 2 + 10$
$7 < a + 10 < 12$
Ответ: $7 < a + 10 < 12$

4) a - 2
Чтобы оценить выражение $a - 2$, вычтем число 2 из всех частей исходного неравенства.
$-3 - 2 < a - 2 < 2 - 2$
$-5 < a - 2 < 0$
Ответ: $-5 < a - 2 < 0$

5) -5a
Чтобы оценить выражение $-5a$, умножим все части исходного неравенства на -5. Так как -5 — отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные.
$-3 \cdot (-5) > a \cdot (-5) > 2 \cdot (-5)$
$15 > -5a > -10$
Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-10 < -5a < 15$
Ответ: $-10 < -5a < 15$

6) -a/3
Чтобы оценить выражение $-\frac{a}{3}$, умножим все части исходного неравенства на $-\frac{1}{3}$. Так как $-\frac{1}{3}$ — отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные.
$-3 \cdot (-\frac{1}{3}) > a \cdot (-\frac{1}{3}) > 2 \cdot (-\frac{1}{3})$
$1 > -\frac{a}{3} > -\frac{2}{3}$
Запишем неравенство в стандартном виде:
$-\frac{2}{3} < -\frac{a}{3} < 1$
Ответ: $-\frac{2}{3} < -\frac{a}{3} < 1$

7) 3a - 1
Это составное выражение. Сначала оценим $3a$. Как мы нашли в пункте 1, $-9 < 3a < 6$.
Теперь вычтем 1 из всех частей полученного неравенства.
$-9 - 1 < 3a - 1 < 6 - 1$
$-10 < 3a - 1 < 5$
Ответ: $-10 < 3a - 1 < 5$

8) 3 - 4a
Сначала оценим выражение $-4a$. Для этого умножим все части исходного неравенства $-3 < a < 2$ на -4. Так как -4 — отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные.
$-3 \cdot (-4) > a \cdot (-4) > 2 \cdot (-4)$
$12 > -4a > -8$
Запишем в виде $-8 < -4a < 12$.
Теперь прибавим 3 ко всем частям полученного неравенства.
$-8 + 3 < -4a + 3 < 12 + 3$
$-5 < 3 - 4a < 15$
Ответ: $-5 < 3 - 4a < 15$