Страница 77 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Изобразите на координатной прямой промежуток:

1) $ [-2; +\infty) $;
2) $ (-2; +\infty) $;
3) $ (-\infty; -2) $;
4) $ (-\infty; -2] $.

1) Промежуток $[-2; +\infty)$ включает в себя число -2 и все числа, которые больше -2. Этот промежуток соответствует неравенству $x \ge -2$. На координатной прямой точка -2 отмечается закрашенным (сплошным) кружком, так как скобка квадратная (неравенство нестрогое), а область справа от точки -2 заштриховывается.

Ответ:

2) Промежуток $(-2; +\infty)$ включает в себя все числа, которые строго больше -2. Само число -2 в этот промежуток не входит. Этот промежуток соответствует неравенству $x > -2$. На координатной прямой точка -2 отмечается выколотым (пустым) кружком, так как скобка круглая (неравенство строгое), а область справа от точки -2 заштриховывается.

Ответ:

3) Промежуток $(-\infty; -2)$ включает в себя все числа, которые строго меньше -2. Само число -2 в этот промежуток не входит. Этот промежуток соответствует неравенству $x < -2$. На координатной прямой точка -2 отмечается выколотым (пустым) кружком, так как скобка круглая (неравенство строгое), а область слева от точки -2 заштриховывается.

Ответ:

4) Промежуток $(-\infty; -2]$ включает в себя число -2 и все числа, которые меньше -2. Этот промежуток соответствует неравенству $x \le -2$. На координатной прямой точка -2 отмечается закрашенным (сплошным) кружком, так как скобка квадратная (неравенство нестрогое), а область слева от точки -2 заштриховывается.

Ответ:

22. Изобразите на координатной прямой и запишите про- межуток, который задаётся неравенством:

1) $x < 4$;

2) $x > -3$;

3) $x \le -1$;

4) $x \ge 2$.

1) $x < 4$

Данное неравенство означает, что переменная $x$ принимает все значения, которые строго меньше 4. Чтобы изобразить это на координатной прямой, нужно отметить точку 4. Поскольку неравенство строгое ($<$), сама точка 4 не является решением, поэтому мы отмечаем ее "выколотой" точкой (пустым кружком). Все числа, которые лежат левее точки 4, удовлетворяют неравенству. Следовательно, мы заштриховываем всю область на прямой слева от 4.

Этот числовой промежуток представляет собой открытый луч от минус бесконечности до 4. В виде промежутка это записывается как $(-\infty; 4)$. Круглая скобка означает, что число 4 не включается в промежуток.

Ответ: $(-\infty; 4)$.

2) $x > -3$

Это неравенство означает, что $x$ принимает все значения, которые строго больше -3. На координатной прямой отмечаем точку -3. Так как неравенство строгое ($>$), точка -3 не входит в множество решений и обозначается "выколотой" точкой. Решениями являются все числа, расположенные правее -3. Заштриховываем область на прямой справа от -3.

Данный промежуток является открытым лучом от -3 до плюс бесконечности. Запись в виде промежутка: $(-3; +\infty)$. Круглая скобка у -3 показывает, что это число не является частью решения.

Ответ: $(-3; +\infty)$.

3) $x \leq -1$

Неравенство $x \leq -1$ означает, что $x$ принимает все значения, которые меньше или равны -1. На координатной прямой мы отмечаем точку -1. Поскольку неравенство нестрогое ($\leq$), то есть включает знак равенства, точка -1 является решением. На прямой она обозначается "закрашенной" точкой (сплошным кружком). Решениями являются все числа левее -1, а также само число -1. Заштриховываем область слева от -1, включая саму точку.

Этот промежуток является лучом, идущим от минус бесконечности до -1 включительно. В виде промежутка это записывается как $(-\infty; -1]$. Квадратная скобка означает, что число -1 включается в промежуток.

Ответ: $(-\infty; -1]$.

4) $x \geq 2$

Неравенство $x \geq 2$ означает, что $x$ принимает все значения, которые больше или равны 2. На координатной прямой отмечаем точку 2. Так как неравенство нестрогое ($\geq$), точка 2 включается в множество решений и обозначается "закрашенной" точкой. Решениями являются все числа правее 2 и само число 2. Заштриховываем область на прямой справа от 2, включая точку 2.

Данный промежуток — это луч, начинающийся в точке 2 и идущий в сторону плюс бесконечности. В виде промежутка это записывается как $[2; +\infty)$. Квадратная скобка у числа 2 показывает, что оно включено в промежуток.

Ответ: $[2; +\infty)$.

23. Укажите наименьшее целое число, принадлежащее промежутку:

1) $(-12,8; +\infty);$

$(-12.8; +\infty)$

2) $[7; +\infty).$

$[7; +\infty)$

1) Заданный промежуток $(-12,8; +\infty)$ включает в себя все действительные числа, которые строго больше $-12,8$. В виде неравенства это записывается как $x > -12,8$.
Нам необходимо найти наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Целые числа, расположенные на числовой прямой правее (то есть больше) числа $-12,8$, это $-12, -11, -10, \dots$ и так далее.
Наименьшим из этих целых чисел является $-12$.
Ответ: -12

2) Заданный промежуток $[7; +\infty)$ включает в себя все действительные числа, которые больше или равны $7$. В виде неравенства это записывается как $x \ge 7$.
Квадратная скобка у числа $7$ означает, что это число включено в промежуток. Таким образом, целые числа, принадлежащие этому промежутку, это $7, 8, 9, \dots$ и так далее.
Наименьшим из этих целых чисел является $7$.
Ответ: 7

24. Решите неравенство:

1) $2x > -6$;

2) $-5x \le 20$;

3) $-\frac{2}{3}x > -4$;

4) $-0,2x \le 2$;

5) $8,7x \ge 0$;

6) $-3x \ge 0$;

7) $2\frac{2}{3}x > \frac{9}{16}$;

8) $3x + 1 > 4x - 6$;

9) $5x + 8 \le 2 - 3x$;

10) $5 - 4x \ge 3x + 8$;

11) $2,3x - 0,8 < 1 - 0,4x$;

12) $\frac{2}{3}x + 12 > -\frac{1}{6}x + 9$.

1)

$2x > -6$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 - положительное число, знак неравенства не меняется.
$x > \frac{-6}{2}$
$x > -3$
Решением является интервал от -3 до плюс бесконечности, не включая -3.
Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

2)

$-5x \le 20$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x \ge \frac{20}{-5}$
$x \ge -4$
Решением является числовой луч от -4 до плюс бесконечности, включая -4.
Ответ: $x \in [-4; +\infty)$.

3)

$-\frac{2}{3}x > -4$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $-\frac{3}{2}$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x < -4 \cdot (-\frac{3}{2})$
$x < \frac{12}{2}$
$x < 6$
Решением является интервал от минус бесконечности до 6, не включая 6.
Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

4)

$-0,2x \le 2$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -0,2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x \ge \frac{2}{-0,2}$
$x \ge -10$
Решением является числовой луч от -10 до плюс бесконечности, включая -10.
Ответ: $x \in [-10; +\infty)$.

5)

$8,7x \ge 0$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 8,7. Так как 8,7 - положительное число, знак неравенства не меняется.
$x \ge \frac{0}{8,7}$
$x \ge 0$
Решением является числовой луч от 0 до плюс бесконечности, включая 0.
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

6)

$-3x \ge 0$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x \le \frac{0}{-3}$
$x \le 0$
Решением является числовой луч от минус бесконечности до 0, включая 0.
Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

7)

$2\frac{2}{3}x > \frac{9}{16}$
Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.
$\frac{8}{3}x > \frac{9}{16}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{3}{8}$. Так как это число положительное, знак неравенства не меняется.
$x > \frac{9}{16} \cdot \frac{3}{8}$
$x > \frac{27}{128}$
Решением является интервал от $\frac{27}{128}$ до плюс бесконечности.
Ответ: $x \in (\frac{27}{128}; +\infty)$.

8)

$3x + 1 > 4x - 6$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть неравенства, а свободные члены — в другую.
$1 + 6 > 4x - 3x$
$7 > x$
Это эквивалентно записи $x < 7$.
Решением является интервал от минус бесконечности до 7, не включая 7.
Ответ: $x \in (-\infty; 7)$.

9)

$5x + 8 \le 2 - 3x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую.
$5x + 3x \le 2 - 8$
$8x \le -6$
Разделим обе части на 8.
$x \le -\frac{6}{8}$
Сократим дробь:
$x \le -\frac{3}{4}$
Решением является числовой луч от минус бесконечности до $-\frac{3}{4}$, включая $-\frac{3}{4}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{4}]$.

10)

$5 - 4x \ge 3x + 8$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую.
$5 - 8 \ge 3x + 4x$
$-3 \ge 7x$
Разделим обе части на 7.
$-\frac{3}{7} \ge x$
Это эквивалентно записи $x \le -\frac{3}{7}$.
Решением является числовой луч от минус бесконечности до $-\frac{3}{7}$, включая $-\frac{3}{7}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{7}]$.

11)

$2,3x - 0,8 < 1 - 0,4x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую.
$2,3x + 0,4x < 1 + 0,8$
$2,7x < 1,8$
Разделим обе части на 2,7.
$x < \frac{1,8}{2,7}$
Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$x < \frac{18}{27}$
Сократим дробь на 9:
$x < \frac{2}{3}$
Решением является интервал от минус бесконечности до $\frac{2}{3}$, не включая $\frac{2}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$.

12)

$\frac{2}{3}x + 12 > -\frac{1}{6}x + 9$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую.
$\frac{2}{3}x + \frac{1}{6}x > 9 - 12$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6.
$\frac{4}{6}x + \frac{1}{6}x > -3$
$\frac{5}{6}x > -3$
Умножим обе части на $\frac{6}{5}$.
$x > -3 \cdot \frac{6}{5}$
$x > -\frac{18}{5}$
$x > -3,6$
Решением является интервал от -3,6 до плюс бесконечности.
Ответ: $x \in (-3,6; +\infty)$.

25. Решите неравенство:

1) $9 - 7(x + 3) \geq 5 - 6x;$

2) $0.4(6 - 4x) < 0.5(7 - 3x) - 1.9;$

3) $\frac{3}{4}\left(\frac{1}{6}y - \frac{1}{3}\right) > 3x - 11\frac{1}{2};$

4) $3x(x + 1) - 2x(5x + 3) < 7x(2 - x) + 4;$

5) $\frac{x - 3}{4} + \frac{x}{3} \geq 2;$

6) $\frac{x + 3}{2} - \frac{x - 4}{7} < 1;$

7) $\frac{5x - 2}{3} + \frac{2x - 1}{5} \leq \frac{4 - x}{4};$

8) $(x - 3)(x + 7) - (x + 2)(x - 7) \leq 7x;$

9) $(4x + 5)^2 + (3 - 2x)(8x + 1) > 7 + 61x;$

10) $(x + 2)(6 - 2x) < 14 - 2(x - 2)^2.$

1)$9 - 7(x + 3) \ge 5 - 6x$
Раскроем скобки:
$9 - 7x - 21 \ge 5 - 6x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-12 - 7x \ge 5 - 6x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$-7x + 6x \ge 5 + 12$
$-x \ge 17$
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le -17$
Ответ: $x \in (-\infty; -17]$.

2)$0,4(6 - 4x) < 0,5(7 - 3x) - 1,9$
Раскроем скобки:
$2,4 - 1,6x < 3,5 - 1,5x - 1,9$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$2,4 - 1,6x < 1,6 - 1,5x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$-1,6x + 1,5x < 1,6 - 2,4$
$-0,1x < -0,8$
Разделим обе части на $-0,1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > \frac{-0,8}{-0,1}$
$x > 8$
Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

3)$\frac{3}{4}(\frac{1}{6}y - \frac{1}{3}) > 3x - 11\frac{1}{2}$
Предположим, что в неравенстве опечатка, и переменная должна быть одна (например, $x$ вместо $y$). Решим неравенство $\frac{3}{4}(\frac{1}{6}x - \frac{1}{3}) > 3x - 11\frac{1}{2}$.
Раскроем скобки в левой части и преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6}x - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} > 3x - \frac{23}{2}$
$\frac{1}{8}x - \frac{1}{4} > 3x - \frac{23}{2}$
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель (8):
$8 \cdot (\frac{1}{8}x) - 8 \cdot (\frac{1}{4}) > 8 \cdot (3x) - 8 \cdot (\frac{23}{2})$
$x - 2 > 24x - 92$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$92 - 2 > 24x - x$
$90 > 23x$
$x < \frac{90}{23}$
$x < 3\frac{21}{23}$
Ответ: $x \in (-\infty; 3\frac{21}{23})$.

4)$3x(x + 1) - 2x(5x + 3) < 7x(2 - x) + 4$
Раскроем скобки:
$3x^2 + 3x - 10x^2 - 6x < 14x - 7x^2 + 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-7x^2 - 3x < 14x - 7x^2 + 4$
Прибавим к обеим частям $7x^2$:
$-3x < 14x + 4$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$-3x - 14x < 4$
$-17x < 4$
Разделим обе части на $-17$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > -\frac{4}{17}$
Ответ: $x \in (-\frac{4}{17}; +\infty)$.

5)$\frac{x - 3}{4} + \frac{x}{3} \ge 2$
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель (12), чтобы избавиться от дробей:
$12 \cdot \frac{x - 3}{4} + 12 \cdot \frac{x}{3} \ge 12 \cdot 2$
$3(x - 3) + 4x \ge 24$
Раскроем скобки:
$3x - 9 + 4x \ge 24$
Приведем подобные слагаемые:
$7x - 9 \ge 24$
$7x \ge 24 + 9$
$7x \ge 33$
$x \ge \frac{33}{7}$
$x \ge 4\frac{5}{7}$
Ответ: $x \in [4\frac{5}{7}; +\infty)$.

6)$\frac{x + 3}{2} - \frac{x - 4}{7} < 1$
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель (14):
$14 \cdot \frac{x + 3}{2} - 14 \cdot \frac{x - 4}{7} < 14 \cdot 1$
$7(x + 3) - 2(x - 4) < 14$
Раскроем скобки:
$7x + 21 - 2x + 8 < 14$
Приведем подобные слагаемые:
$5x + 29 < 14$
$5x < 14 - 29$
$5x < -15$
$x < -3$
Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

7)$\frac{5x - 2}{3} + \frac{2x - 1}{5} \le \frac{4 - x}{4}$
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель (60):
$60 \cdot \frac{5x - 2}{3} + 60 \cdot \frac{2x - 1}{5} \le 60 \cdot \frac{4 - x}{4}$
$20(5x - 2) + 12(2x - 1) \le 15(4 - x)$
Раскроем скобки:
$100x - 40 + 24x - 12 \le 60 - 15x$
Приведем подобные слагаемые:
$124x - 52 \le 60 - 15x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$124x + 15x \le 60 + 52$
$139x \le 112$
$x \le \frac{112}{139}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{112}{139}]$.

8)$(x - 3)(x + 7) - (x + 2)(x - 7) \le 7x$
Раскроем скобки:
$(x^2 + 7x - 3x - 21) - (x^2 - 7x + 2x - 14) \le 7x$
$(x^2 + 4x - 21) - (x^2 - 5x - 14) \le 7x$
$x^2 + 4x - 21 - x^2 + 5x + 14 \le 7x$
Приведем подобные слагаемые:
$9x - 7 \le 7x$
$9x - 7x \le 7$
$2x \le 7$
$x \le \frac{7}{2}$
$x \le 3,5$
Ответ: $x \in (-\infty; 3,5]$.

9)$(4x + 5)^2 + (3 - 2x)(8x + 1) > 7 + 61x$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и правило умножения многочленов:
$(16x^2 + 40x + 25) + (24x + 3 - 16x^2 - 2x) > 7 + 61x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$16x^2 - 16x^2 + 40x + 24x - 2x + 25 + 3 > 7 + 61x$
$62x + 28 > 7 + 61x$
$62x - 61x > 7 - 28$
$x > -21$
Ответ: $x \in (-21; +\infty)$.

10)$(x + 2)(6 - 2x) < 14 - 2(x - 2)^2$
Раскроем скобки:
$6x - 2x^2 + 12 - 4x < 14 - 2(x^2 - 4x + 4)$
$-2x^2 + 2x + 12 < 14 - 2x^2 + 8x - 8$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$-2x^2 + 2x + 12 < -2x^2 + 8x + 6$
Прибавим к обеим частям $2x^2$:
$2x + 12 < 8x + 6$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$12 - 6 < 8x - 2x$
$6 < 6x$
$1 < x$
$x > 1$
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.