Страница 76 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Известно, что $3,14 < \pi < 3,15$. Оцените значение выражения:

1) $2\pi$;

2) $-3\pi$;

3) $4-\pi$;

4) $\frac{\pi-3}{2}$.

Дано неравенство $3,14 < \pi < 3,15$. Необходимо оценить значения четырех выражений, используя свойства числовых неравенств.

1) 2π

Чтобы оценить значение выражения $2\pi$, умножим все части исходного двойного неравенства на положительное число 2. Знак неравенства при этом не изменится.

$3,14 < \pi < 3,15$

$2 \cdot 3,14 < 2 \cdot \pi < 2 \cdot 3,15$

$6,28 < 2\pi < 6,30$

Ответ: $6,28 < 2\pi < 6,30$.

2) -3π

Чтобы оценить значение выражения $-3\pi$, умножим все части исходного неравенства на отрицательное число -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$3,14 < \pi < 3,15$

$-3 \cdot 3,14 > -3 \cdot \pi > -3 \cdot 3,15$

$-9,42 > -3\pi > -9,45$

Для удобства запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-9,45 < -3\pi < -9,42$

Ответ: $-9,45 < -3\pi < -9,42$.

3) 4 - π

Это выражение можно представить как $4 + (-\pi)$. Сначала оценим $-\pi$. Для этого умножим исходное неравенство на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные.

$3,14 < \pi < 3,15$

$-1 \cdot 3,14 > -1 \cdot \pi > -1 \cdot 3,15$

$-3,14 > -\pi > -3,15$

Запишем в стандартном виде:

$-3,15 < -\pi < -3,14$

Теперь прибавим число 4 ко всем частям полученного неравенства:

$4 - 3,15 < 4 - \pi < 4 - 3,14$

$0,85 < 4 - \pi < 0,86$

Ответ: $0,85 < 4 - \pi < 0,86$.

4) $\frac{\pi - 3}{2}$

Сначала оценим значение числителя $\pi - 3$. Для этого вычтем число 3 из всех частей исходного неравенства.

$3,14 - 3 < \pi - 3 < 3,15 - 3$

$0,14 < \pi - 3 < 0,15$

Теперь разделим все части полученного неравенства на положительное число 2. Знак неравенства при этом не изменится.

$\frac{0,14}{2} < \frac{\pi - 3}{2} < \frac{0,15}{2}$

$0,07 < \frac{\pi - 3}{2} < 0,075$

Ответ: $0,07 < \frac{\pi - 3}{2} < 0,075$.

14. Дано: $3 < a < 5$. Оцените значение выражения $\frac{1}{a}$.

Для оценки значения выражения $\frac{1}{a}$, исходя из заданного неравенства $3 < a < 5$, необходимо применить свойства числовых неравенств.

Поскольку все части двойного неравенства $3 < a < 5$ положительны, мы можем взять обратные величины от каждой из них. При этом, согласно свойству неравенств, знаки неравенства изменятся на противоположные.

Исходное неравенство можно разбить на два:
1) $a > 3$
2) $a < 5$

Применим операцию взятия обратной величины к первому неравенству:
Если $a > 3$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{3}$.

Теперь применим ту же операцию ко второму неравенству:
Если $a < 5$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{5}$.

Объединим полученные результаты в одно двойное неравенство:
$\frac{1}{5} < \frac{1}{a}$ и $\frac{1}{a} < \frac{1}{3}$.
Следовательно, $\frac{1}{5} < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{5} < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$

15. Дано: $2 < a < 5$ и $1 < b < 3$. Оцените значение выражения:

1) $a+b$;

2) $b-a$;

3) $ab$;

4) $\frac{b}{a}$;

5) $3a+2b$;

6) $4a-3b$;

7) $\frac{5a}{2b}$;

8) $\frac{0.4a - 0.2b}{0.7a - 0.3b}$.

Дано: $2 < a < 5$ и $1 < b < 3$.

1) a + b;

Для нахождения оценки суммы $a + b$ сложим почленно данные неравенства:

$\begin{array}{c} + \\ \phantom{x} \\ \end{array} \begin{array}{c} 2 < a < 5 \\ 1 < b < 3 \\ \end{array}$
$-----------$
$2 + 1 < a + b < 5 + 3$

Вычисляем суммы:

$3 < a + b < 8$

Ответ: $3 < a + b < 8$.

2) b - a;

Чтобы оценить разность $b - a$, представим ее в виде суммы $b + (-a)$. Сначала найдем оценку для $-a$. Для этого умножим все части неравенства $2 < a < 5$ на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-1 \cdot 2 > -1 \cdot a > -1 \cdot 5$

$-2 > -a > -5$, что то же самое, что и $-5 < -a < -2$.

Теперь сложим почленно неравенства $1 < b < 3$ и $-5 < -a < -2$:

$\begin{array}{c} + \\ \phantom{x} \\ \end{array} \begin{array}{c} 1 < b < 3 \\ -5 < -a < -2 \\ \end{array}$
$-----------$
$1 + (-5) < b + (-a) < 3 + (-2)$

Вычисляем:

$-4 < b - a < 1$

Ответ: $-4 < b - a < 1$.

3) ab;

Поскольку все значения $a$ и $b$ в заданных интервалах положительны, мы можем почленно перемножить неравенства:

$\begin{array}{c} \times \\ \phantom{x} \\ \end{array} \begin{array}{c} 2 < a < 5 \\ 1 < b < 3 \\ \end{array}$
$-----------$
$2 \cdot 1 < a \cdot b < 5 \cdot 3$

Вычисляем произведения:

$2 < ab < 15$

Ответ: $2 < ab < 15$.

4) b/a;

Чтобы оценить частное $\frac{b}{a}$, представим его в виде произведения $b \cdot \frac{1}{a}$. Найдем оценку для $\frac{1}{a}$. Так как $2 < a < 5$, и все части неравенства положительны, то при взятии обратной величины знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{1}{2} > \frac{1}{a} > \frac{1}{5}$, что эквивалентно $\frac{1}{5} < \frac{1}{a} < \frac{1}{2}$.

Теперь перемножим неравенства $1 < b < 3$ и $\frac{1}{5} < \frac{1}{a} < \frac{1}{2}$:

$1 \cdot \frac{1}{5} < b \cdot \frac{1}{a} < 3 \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{1}{5} < \frac{b}{a} < \frac{3}{2}$

Ответ: $0,2 < \frac{b}{a} < 1,5$.

5) 3a + 2b;

Сначала найдем оценки для $3a$ и $2b$.

Умножим неравенство $2 < a < 5$ на 3: $3 \cdot 2 < 3a < 3 \cdot 5 \Rightarrow 6 < 3a < 15$.

Умножим неравенство $1 < b < 3$ на 2: $2 \cdot 1 < 2b < 2 \cdot 3 \Rightarrow 2 < 2b < 6$.

Теперь сложим полученные неравенства:

$6 + 2 < 3a + 2b < 15 + 6$

$8 < 3a + 2b < 21$

Ответ: $8 < 3a + 2b < 21$.

6) 4a - 3b;

Представим выражение как сумму $4a + (-3b)$.

Найдем оценку для $4a$. Умножим $2 < a < 5$ на 4: $8 < 4a < 20$.

Найдем оценку для $-3b$. Умножим $1 < b < 3$ на -3 (меняя знаки неравенства):

$-3 \cdot 3 < -3b < -3 \cdot 1 \Rightarrow -9 < -3b < -3$.

Сложим неравенства для $4a$ и $-3b$:

$8 + (-9) < 4a - 3b < 20 + (-3)$

$-1 < 4a - 3b < 17$

Ответ: $-1 < 4a - 3b < 17$.

7) $\frac{5a}{2b}$;

Оценим числитель $5a$ и знаменатель $2b$.

Оценка для $5a$: $5 \cdot 2 < 5a < 5 \cdot 5 \Rightarrow 10 < 5a < 25$.

Оценка для $2b$: $2 \cdot 1 < 2b < 2 \cdot 3 \Rightarrow 2 < 2b < 6$.

Так как числитель и знаменатель положительны, для нахождения наименьшего значения дроби разделим наименьшее значение числителя на наибольшее значение знаменателя. Для нахождения наибольшего значения дроби разделим наибольшее значение числителя на наименьшее значение знаменателя.

$\frac{10}{6} < \frac{5a}{2b} < \frac{25}{2}$

$\frac{5}{3} < \frac{5a}{2b} < 12,5$

Ответ: $\frac{5}{3} < \frac{5a}{2b} < 12,5$.

8) $\frac{0,4a - 0,2b}{0,7a - 0,3b}$;

Оценим числитель $N = 0,4a - 0,2b$ и знаменатель $D = 0,7a - 0,3b$.

Оценка числителя: из $2 < a < 5$ следует $0,8 < 0,4a < 2$. Из $1 < b < 3$ следует $0,2 < 0,2b < 0,6$, а значит $-0,6 < -0,2b < -0,2$. Складывая, получаем: $0,8 - 0,6 < 0,4a - 0,2b < 2 - 0,2$, то есть $0,2 < N < 1,8$.

Оценка знаменателя: из $2 < a < 5$ следует $1,4 < 0,7a < 3,5$. Из $1 < b < 3$ следует $0,3 < 0,3b < 0,9$, а значит $-0,9 < -0,3b < -0,3$. Складывая, получаем: $1,4 - 0,9 < 0,7a - 0,3b < 3,5 - 0,3$, то есть $0,5 < D < 3,2$.

Так как переменные $a$ и $b$ входят и в числитель, и в знаменатель, нельзя просто делить границы интервалов. Рассмотрим функцию $f(a, b) = \frac{0,4a - 0,2b}{0,7a - 0,3b}$. Можно показать, что эта функция возрастает по $a$ и убывает по $b$. Следовательно, наименьшее значение достигается при минимальном $a$ и максимальном $b$, а наибольшее — при максимальном $a$ и минимальном $b$.

Нижняя граница (при $a \to 2$ и $b \to 3$):

$\frac{0,4 \cdot 2 - 0,2 \cdot 3}{0,7 \cdot 2 - 0,3 \cdot 3} = \frac{0,8 - 0,6}{1,4 - 0,9} = \frac{0,2}{0,5} = 0,4$.

Верхняя граница (при $a \to 5$ и $b \to 1$):

$\frac{0,4 \cdot 5 - 0,2 \cdot 1}{0,7 \cdot 5 - 0,3 \cdot 1} = \frac{2 - 0,2}{3,5 - 0,3} = \frac{1,8}{3,2} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$.

Таким образом, искомая оценка:

$0,4 < \frac{0,4a - 0,2b}{0,7a - 0,3b} < \frac{9}{16}$.

Ответ: $0,4 < \frac{0,4a - 0,2b}{0,7a - 0,3b} < \frac{9}{16}$.

16. Оцените периметр равнобокой трапеции с основаниями $a$ см и $b$ см и боковой стороной $c$ см, если $9 < a < 12$, $10 < b < 14$, $2 < c < 4$.

Периметр равнобокой трапеции $P$ вычисляется как сумма длин всех ее сторон. У равнобокой трапеции основания равны $a$ и $b$, а две боковые стороны равны $c$.

Формула для вычисления периметра имеет вид:

$P = a + b + c + c = a + b + 2c$

Согласно условию задачи, нам даны следующие оценки для длин сторон:

$9 < a < 12$

$10 < b < 14$

$2 < c < 4$

Чтобы найти оценку для периметра, сначала необходимо найти оценку для $2c$. Для этого умножим все части неравенства для $c$ на 2:

$2 \cdot 2 < 2 \cdot c < 2 \cdot 4$

$4 < 2c < 8$

Теперь мы можем найти оценку для периметра $P$, сложив почленно три неравенства:

$9 < a < 12$

$10 < b < 14$

$4 < 2c < 8$

Сложим левые и правые части этих неравенств:

$9 + 10 + 4 < a + b + 2c < 12 + 14 + 8$

Выполним вычисления:

$23 < P < 34$

Таким образом, периметр трапеции строго больше 23 см и строго меньше 34 см.

Ответ: $23 < P < 34$.

17. Оцените длину окружности и площадь круга с радиусом $r$ см, если $3 < r < 4$ (число $\pi$ округлите до десятых).

По условию задачи, радиус круга $r$ удовлетворяет двойному неравенству $3 < r < 4$ см. Для расчетов необходимо использовать приближенное значение числа $\pi$, округленное до десятых: $\pi \approx 3,1$.

Оценка длины окружности

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Подставим в формулу приближенное значение $\pi \approx 3,1$: $C \approx 2 \cdot 3,1 \cdot r = 6,2r$. Теперь, чтобы найти диапазон для длины окружности, умножим все части исходного неравенства $3 < r < 4$ на $6,2$ (так как $6,2 > 0$, знаки неравенства сохраняются): $3 \cdot 6,2 < r \cdot 6,2 < 4 \cdot 6,2$ $18,6 < C < 24,8$ Таким образом, длина окружности больше 18,6 см, но меньше 24,8 см.
Ответ: $18,6 \text{ см} < C < 24,8 \text{ см}$.

Оценка площади круга

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим в формулу приближенное значение $\pi \approx 3,1$: $S \approx 3,1 r^2$. Сначала найдем диапазон для $r^2$. Так как $r$ — это радиус, он положителен, поэтому мы можем возвести все части неравенства $3 < r < 4$ в квадрат: $3^2 < r^2 < 4^2$ $9 < r^2 < 16$ Теперь умножим все части полученного неравенства на $3,1$: $9 \cdot 3,1 < r^2 \cdot 3,1 < 16 \cdot 3,1$ $27,9 < S < 49,6$ Таким образом, площадь круга больше 27,9 см², но меньше 49,6 см².
Ответ: $27,9 \text{ см}^2 < S < 49,6 \text{ см}^2$.

18. Какие из чисел $-3$; $-\frac{2}{3}$; $0$; $4$; $0,8$ являются решениями неравенства:

1) $x > -0,8$;

2) $x \le 4$;

3) $3x - 1 < 2x + 3$;

4) $x^2 - 1 \le 0$;

5) $\sqrt{x} > -2$;

6) $\frac{1}{x} > 1$?

Для того чтобы определить, какие из чисел -3; $-\frac{2}{3}$; 0; 4; 0,8 являются решениями неравенств, нужно подставить каждое число в каждое неравенство и проверить, выполняется ли оно.

1) $x > -0,8$

Проверим каждое число:

• При $x = -3$: $-3 > -0,8$. Неравенство неверно.
• При $x = -\frac{2}{3}$: $-\frac{2}{3} \approx -0,67$. Так как $-0,67 > -0,8$, неравенство верно.
• При $x = 0$: $0 > -0,8$. Неравенство верно.
• При $x = 4$: $4 > -0,8$. Неравенство верно.
• При $x = 0,8$: $0,8 > -0,8$. Неравенство верно.

Ответ: $-\frac{2}{3}$; 0; 4; 0,8.

2) $x \le 4$

Проверим каждое число:

• При $x = -3$: $-3 \le 4$. Неравенство верно.
• При $x = -\frac{2}{3}$: $-\frac{2}{3} \le 4$. Неравенство верно.
• При $x = 0$: $0 \le 4$. Неравенство верно.
• При $x = 4$: $4 \le 4$. Неравенство верно.
• При $x = 0,8$: $0,8 \le 4$. Неравенство верно.

Ответ: -3; $-\frac{2}{3}$; 0; 4; 0,8.

3) $3x - 1 < 2x + 3$

Сначала упростим неравенство:

$3x - 2x < 3 + 1$

$x < 4$

Теперь проверим, какие из чисел удовлетворяют условию $x < 4$:

• $-3 < 4$. Верно.
• $-\frac{2}{3} < 4$. Верно.
• $0 < 4$. Верно.
• $4 < 4$. Неверно.
• $0,8 < 4$. Верно.

Ответ: -3; $-\frac{2}{3}$; 0; 0,8.

4) $x^2 - 1 \le 0$

Упростим неравенство:

$x^2 \le 1$

Это неравенство выполняется для всех $x$, удовлетворяющих условию $-1 \le x \le 1$.

Проверим, какие из чисел попадают в этот промежуток:

• $x = -3$: не попадает в промежуток $[-1, 1]$.
• $x = -\frac{2}{3}$: попадает в промежуток $[-1, 1]$, так как $-1 \le -\frac{2}{3} \le 1$.
• $x = 0$: попадает в промежуток $[-1, 1]$.
• $x = 4$: не попадает в промежуток $[-1, 1]$.
• $x = 0,8$: попадает в промежуток $[-1, 1]$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$; 0; 0,8.

5) $\sqrt{x} > -2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным. По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, поэтому неравенство $\sqrt{x} > -2$ будет верным для всех $x$, при которых выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл.

Проверим, какие из предложенных чисел принадлежат ОДЗ ($x \ge 0$):

• $x = -3$: не принадлежит ОДЗ.
• $x = -\frac{2}{3}$: не принадлежит ОДЗ.
• $x = 0$: принадлежит ОДЗ.
• $x = 4$: принадлежит ОДЗ.
• $x = 0,8$: принадлежит ОДЗ.

Ответ: 0; 4; 0,8.

6) $\frac{1}{x} > 1$

Решим неравенство. Перенесем все в одну сторону:

$\frac{1}{x} - 1 > 0 \implies \frac{1-x}{x} > 0$

Это неравенство справедливо, когда $0 < x < 1$.

Проверим, какие из чисел попадают в этот интервал:

• $x = -3$: не попадает в интервал $(0, 1)$.
• $x = -\frac{2}{3}$: не попадает в интервал $(0, 1)$.
• $x = 0$: не попадает в интервал $(0, 1)$ (и обращает знаменатель в ноль).
• $x = 4$: не попадает в интервал $(0, 1)$.
• $x = 0,8$: попадает в интервал $(0, 1)$, так как $0 < 0,8 < 1$.

Ответ: 0,8.

19. Каково множество решений неравенства:

1) $(x+4)^2 < 0$;

2) $(x+4)^2 \le 0$;

3) $(x+4)^2 > 0$;

4) $(x+4)^2 \ge 0$;

5) $0x < 4$;

6) $0x > 4$;

7) $0x < -4$;

8) $0x > -4?$

1) $(x+4)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Выражение $(x+4)^2$ является квадратом числа $(x+4)$, следовательно, $(x+4)^2 \ge 0$ для любого значения $x$. Неравенство требует, чтобы квадрат был строго меньше нуля, что невозможно для действительных чисел. Таким образом, у этого неравенства нет решений.

Ответ: нет решений.

2) $(x+4)^2 \le 0$

Как было сказано выше, $(x+4)^2 \ge 0$ для любого $x$. Неравенство $(x+4)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(x+4)^2 = 0$. Решим это уравнение: $x+4 = 0$, откуда $x = -4$. При всех остальных значениях $x$ выражение $(x+4)^2$ будет строго больше нуля.

Ответ: $x = -4$.

3) $(x+4)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа больше или равен нулю. Выражение $(x+4)^2$ равно нулю только при $x = -4$. Для всех остальных значений $x$ (то есть при $x \ne -4$) выражение $(x+4)^2$ будет строго больше нуля. Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x=-4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

4) $(x+4)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Это свойство выполняется для любого значения $x$. Поэтому данное неравенство верно для всех действительных чисел.

Ответ: $x$ — любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) $0x < 4$

Произведение нуля на любое число $x$ равно нулю. Таким образом, неравенство можно переписать в виде $0 < 4$. Это верное числовое неравенство, которое не зависит от значения $x$. Следовательно, решением является любое действительное число.

Ответ: $x$ — любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) $0x > 4$

Левая часть неравенства при любом $x$ равна нулю. Получаем неверное числовое неравенство $0 > 4$. Поскольку это утверждение ложно, не существует такого значения $x$, при котором неравенство было бы верным.

Ответ: нет решений.

7) $0x < -4$

При любом значении $x$ левая часть неравенства равна нулю. Получаем неравенство $0 < -4$. Это неверное числовое утверждение, так как 0 больше любого отрицательного числа. Следовательно, у неравенства нет решений.

Ответ: нет решений.

8) $0x > -4$

Левая часть неравенства всегда равна нулю, независимо от значения $x$. Получаем неравенство $0 > -4$. Это верное числовое утверждение, так как 0 больше -4. Поскольку это верно для любого $x$, решением является любое действительное число.

Ответ: $x$ — любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

20. Решите неравенство:

1) $-\frac{1}{(x+3)^2} - 2 < 0;$

2) $\frac{x-3}{3-x} < 0;$

3) $\frac{x-3}{x-3} \geq 0;$

4) $\frac{x-3}{x-3} \geq 1;$

5) $\frac{x-3}{3-x} \leq \frac{1}{6};$

6) $\left(\frac{x-4}{x-5}\right)^2 \geq 0;$

7) $\left(\frac{x-4}{x-5}\right)^2 > 0;$

8) $x + \frac{1}{x+1} > \frac{1}{x+1} - 3.$

1) Исходное неравенство: $ \frac{1}{(x+3)^2} - 2 < 0 $. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $ (x+3)^2 \neq 0 $, откуда $ x \neq -3 $. Перенесем 2 в правую часть: $ \frac{1}{(x+3)^2} < 2 $. Так как $ (x+3)^2 > 0 $ для всех $ x $ из ОДЗ, мы можем умножить обе части неравенства на $ (x+3)^2 $, не меняя знака неравенства: $ 1 < 2(x+3)^2 $. Разделим на 2: $ (x+3)^2 > \frac{1}{2} $. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $ x+3 > \sqrt{\frac{1}{2}} $ или $ x+3 < -\sqrt{\frac{1}{2}} $. Упрощая, получаем $ x+3 > \frac{\sqrt{2}}{2} $ или $ x+3 < -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Отсюда $ x > -3 + \frac{\sqrt{2}}{2} $ или $ x < -3 - \frac{\sqrt{2}}{2} $. Решение удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq -3 $). Таким образом, решение неравенства есть объединение двух интервалов. Ответ: $ x \in (-\infty; -3 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (-3 + \frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty) $.

2) Исходное неравенство: $ \frac{x-3}{3-x} < 0 $. ОДЗ: $ 3-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $. Преобразуем знаменатель: $ 3-x = -(x-3) $. Неравенство принимает вид: $ \frac{x-3}{-(x-3)} < 0 $. При $ x \neq 3 $ мы можем сократить дробь на $ (x-3) $, получим: $ -1 < 0 $. Это неравенство является верным для всех значений $ x $, при которых исходное выражение имеет смысл. Следовательно, решением является вся область допустимых значений. Ответ: $ x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.

3) Исходное неравенство: $ \frac{x-3}{x-3} \geq 0 $. ОДЗ: $ x-3 \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $. Для всех $ x $ из ОДЗ выражение $ \frac{x-3}{x-3} $ равно 1. Неравенство принимает вид: $ 1 \geq 0 $. Это неравенство верно. Следовательно, решением является вся область допустимых значений. Ответ: $ x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.

4) Исходное неравенство: $ \frac{x-3}{x-3} \geq 1 $. ОДЗ: $ x-3 \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $. Для всех $ x $ из ОДЗ выражение $ \frac{x-3}{x-3} $ равно 1. Неравенство принимает вид: $ 1 \geq 1 $. Это неравенство верно. Следовательно, решением является вся область допустимых значений. Ответ: $ x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.

5) Исходное неравенство: $ \frac{x-3}{3-x} \leq \frac{1}{6} $. ОДЗ: $ 3-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $. Для всех $ x $ из ОДЗ выражение $ \frac{x-3}{3-x} = \frac{x-3}{-(x-3)} $ равно -1. Неравенство принимает вид: $ -1 \leq \frac{1}{6} $. Это неравенство верно. Следовательно, решением является вся область допустимых значений. Ответ: $ x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.

6) Исходное неравенство: $ (\frac{x-4}{x-5})^2 \geq 0 $. ОДЗ: $ x-5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Выражение $ (\frac{x-4}{x-5})^2 $ определено и неотрицательно для всех $ x $ из ОДЗ. Таким образом, неравенство выполняется для всех допустимых значений $ x $. Ответ: $ x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty) $.

7) Исходное неравенство: $ (\frac{x-4}{x-5})^2 > 0 $. ОДЗ: $ x-5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $. Квадрат действительного числа строго больше нуля тогда и только тогда, когда само число не равно нулю. Следовательно, нам нужно, чтобы $ \frac{x-4}{x-5} \neq 0 $. Дробь не равна нулю, когда её числитель не равен нулю. $ x-4 \neq 0 $, то есть $ x \neq 4 $. Объединяя с ОДЗ, получаем, что $ x $ не должен быть равен 5 и 4. Ответ: $ x \in (-\infty; 4) \cup (4; 5) \cup (5; +\infty) $.

8) Исходное неравенство: $ x + \frac{1}{x+1} > \frac{1}{x+1} - 3 $. ОДЗ: $ x+1 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1 $. Вычтем из обеих частей неравенства слагаемое $ \frac{1}{x+1} $. Так как это равносильное преобразование, знак неравенства не изменится: $ x > -3 $. Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решением является пересечение множеств $ x > -3 $ и $ x \neq -1 $. Это означает, что $ x $ может принимать любые значения больше -3, кроме -1. Ответ: $ x \in (-3; -1) \cup (-1; +\infty) $.