Номер 15, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Дано: $2 < a < 5$ и $1 < b < 3$. Оцените значение выражения:

1) $a+b$;

2) $b-a$;

3) $ab$;

4) $\frac{b}{a}$;

5) $3a+2b$;

6) $4a-3b$;

7) $\frac{5a}{2b}$;

8) $\frac{0.4a - 0.2b}{0.7a - 0.3b}$.

Дано: $2 < a < 5$ и $1 < b < 3$.

1) a + b;

Для нахождения оценки суммы $a + b$ сложим почленно данные неравенства:

$\begin{array}{c} + \\ \phantom{x} \\ \end{array} \begin{array}{c} 2 < a < 5 \\ 1 < b < 3 \\ \end{array}$
$-----------$
$2 + 1 < a + b < 5 + 3$

Вычисляем суммы:

$3 < a + b < 8$

Ответ: $3 < a + b < 8$.

2) b - a;

Чтобы оценить разность $b - a$, представим ее в виде суммы $b + (-a)$. Сначала найдем оценку для $-a$. Для этого умножим все части неравенства $2 < a < 5$ на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-1 \cdot 2 > -1 \cdot a > -1 \cdot 5$

$-2 > -a > -5$, что то же самое, что и $-5 < -a < -2$.

Теперь сложим почленно неравенства $1 < b < 3$ и $-5 < -a < -2$:

$\begin{array}{c} + \\ \phantom{x} \\ \end{array} \begin{array}{c} 1 < b < 3 \\ -5 < -a < -2 \\ \end{array}$
$-----------$
$1 + (-5) < b + (-a) < 3 + (-2)$

Вычисляем:

$-4 < b - a < 1$

Ответ: $-4 < b - a < 1$.

3) ab;

Поскольку все значения $a$ и $b$ в заданных интервалах положительны, мы можем почленно перемножить неравенства:

$\begin{array}{c} \times \\ \phantom{x} \\ \end{array} \begin{array}{c} 2 < a < 5 \\ 1 < b < 3 \\ \end{array}$
$-----------$
$2 \cdot 1 < a \cdot b < 5 \cdot 3$

Вычисляем произведения:

$2 < ab < 15$

Ответ: $2 < ab < 15$.

4) b/a;

Чтобы оценить частное $\frac{b}{a}$, представим его в виде произведения $b \cdot \frac{1}{a}$. Найдем оценку для $\frac{1}{a}$. Так как $2 < a < 5$, и все части неравенства положительны, то при взятии обратной величины знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{1}{2} > \frac{1}{a} > \frac{1}{5}$, что эквивалентно $\frac{1}{5} < \frac{1}{a} < \frac{1}{2}$.

Теперь перемножим неравенства $1 < b < 3$ и $\frac{1}{5} < \frac{1}{a} < \frac{1}{2}$:

$1 \cdot \frac{1}{5} < b \cdot \frac{1}{a} < 3 \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{1}{5} < \frac{b}{a} < \frac{3}{2}$

Ответ: $0,2 < \frac{b}{a} < 1,5$.

5) 3a + 2b;

Сначала найдем оценки для $3a$ и $2b$.

Умножим неравенство $2 < a < 5$ на 3: $3 \cdot 2 < 3a < 3 \cdot 5 \Rightarrow 6 < 3a < 15$.

Умножим неравенство $1 < b < 3$ на 2: $2 \cdot 1 < 2b < 2 \cdot 3 \Rightarrow 2 < 2b < 6$.

Теперь сложим полученные неравенства:

$6 + 2 < 3a + 2b < 15 + 6$

$8 < 3a + 2b < 21$

Ответ: $8 < 3a + 2b < 21$.

6) 4a - 3b;

Представим выражение как сумму $4a + (-3b)$.

Найдем оценку для $4a$. Умножим $2 < a < 5$ на 4: $8 < 4a < 20$.

Найдем оценку для $-3b$. Умножим $1 < b < 3$ на -3 (меняя знаки неравенства):

$-3 \cdot 3 < -3b < -3 \cdot 1 \Rightarrow -9 < -3b < -3$.

Сложим неравенства для $4a$ и $-3b$:

$8 + (-9) < 4a - 3b < 20 + (-3)$

$-1 < 4a - 3b < 17$

Ответ: $-1 < 4a - 3b < 17$.

7) $\frac{5a}{2b}$;

Оценим числитель $5a$ и знаменатель $2b$.

Оценка для $5a$: $5 \cdot 2 < 5a < 5 \cdot 5 \Rightarrow 10 < 5a < 25$.

Оценка для $2b$: $2 \cdot 1 < 2b < 2 \cdot 3 \Rightarrow 2 < 2b < 6$.

Так как числитель и знаменатель положительны, для нахождения наименьшего значения дроби разделим наименьшее значение числителя на наибольшее значение знаменателя. Для нахождения наибольшего значения дроби разделим наибольшее значение числителя на наименьшее значение знаменателя.

$\frac{10}{6} < \frac{5a}{2b} < \frac{25}{2}$

$\frac{5}{3} < \frac{5a}{2b} < 12,5$

Ответ: $\frac{5}{3} < \frac{5a}{2b} < 12,5$.

8) $\frac{0,4a - 0,2b}{0,7a - 0,3b}$;

Оценим числитель $N = 0,4a - 0,2b$ и знаменатель $D = 0,7a - 0,3b$.

Оценка числителя: из $2 < a < 5$ следует $0,8 < 0,4a < 2$. Из $1 < b < 3$ следует $0,2 < 0,2b < 0,6$, а значит $-0,6 < -0,2b < -0,2$. Складывая, получаем: $0,8 - 0,6 < 0,4a - 0,2b < 2 - 0,2$, то есть $0,2 < N < 1,8$.

Оценка знаменателя: из $2 < a < 5$ следует $1,4 < 0,7a < 3,5$. Из $1 < b < 3$ следует $0,3 < 0,3b < 0,9$, а значит $-0,9 < -0,3b < -0,3$. Складывая, получаем: $1,4 - 0,9 < 0,7a - 0,3b < 3,5 - 0,3$, то есть $0,5 < D < 3,2$.

Так как переменные $a$ и $b$ входят и в числитель, и в знаменатель, нельзя просто делить границы интервалов. Рассмотрим функцию $f(a, b) = \frac{0,4a - 0,2b}{0,7a - 0,3b}$. Можно показать, что эта функция возрастает по $a$ и убывает по $b$. Следовательно, наименьшее значение достигается при минимальном $a$ и максимальном $b$, а наибольшее — при максимальном $a$ и минимальном $b$.

Нижняя граница (при $a \to 2$ и $b \to 3$):

$\frac{0,4 \cdot 2 - 0,2 \cdot 3}{0,7 \cdot 2 - 0,3 \cdot 3} = \frac{0,8 - 0,6}{1,4 - 0,9} = \frac{0,2}{0,5} = 0,4$.

Верхняя граница (при $a \to 5$ и $b \to 1$):

$\frac{0,4 \cdot 5 - 0,2 \cdot 1}{0,7 \cdot 5 - 0,3 \cdot 1} = \frac{2 - 0,2}{3,5 - 0,3} = \frac{1,8}{3,2} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$.

Таким образом, искомая оценка:

$0,4 < \frac{0,4a - 0,2b}{0,7a - 0,3b} < \frac{9}{16}$.

Ответ: $0,4 < \frac{0,4a - 0,2b}{0,7a - 0,3b} < \frac{9}{16}$.