Номер 18, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Какие из чисел $-3$; $-\frac{2}{3}$; $0$; $4$; $0,8$ являются решениями неравенства:

1) $x > -0,8$;

2) $x \le 4$;

3) $3x - 1 < 2x + 3$;

4) $x^2 - 1 \le 0$;

5) $\sqrt{x} > -2$;

6) $\frac{1}{x} > 1$?

Для того чтобы определить, какие из чисел -3; $-\frac{2}{3}$; 0; 4; 0,8 являются решениями неравенств, нужно подставить каждое число в каждое неравенство и проверить, выполняется ли оно.

1) $x > -0,8$

Проверим каждое число:

• При $x = -3$: $-3 > -0,8$. Неравенство неверно.
• При $x = -\frac{2}{3}$: $-\frac{2}{3} \approx -0,67$. Так как $-0,67 > -0,8$, неравенство верно.
• При $x = 0$: $0 > -0,8$. Неравенство верно.
• При $x = 4$: $4 > -0,8$. Неравенство верно.
• При $x = 0,8$: $0,8 > -0,8$. Неравенство верно.

Ответ: $-\frac{2}{3}$; 0; 4; 0,8.

2) $x \le 4$

Проверим каждое число:

• При $x = -3$: $-3 \le 4$. Неравенство верно.
• При $x = -\frac{2}{3}$: $-\frac{2}{3} \le 4$. Неравенство верно.
• При $x = 0$: $0 \le 4$. Неравенство верно.
• При $x = 4$: $4 \le 4$. Неравенство верно.
• При $x = 0,8$: $0,8 \le 4$. Неравенство верно.

Ответ: -3; $-\frac{2}{3}$; 0; 4; 0,8.

3) $3x - 1 < 2x + 3$

Сначала упростим неравенство:

$3x - 2x < 3 + 1$

$x < 4$

Теперь проверим, какие из чисел удовлетворяют условию $x < 4$:

• $-3 < 4$. Верно.
• $-\frac{2}{3} < 4$. Верно.
• $0 < 4$. Верно.
• $4 < 4$. Неверно.
• $0,8 < 4$. Верно.

Ответ: -3; $-\frac{2}{3}$; 0; 0,8.

4) $x^2 - 1 \le 0$

Упростим неравенство:

$x^2 \le 1$

Это неравенство выполняется для всех $x$, удовлетворяющих условию $-1 \le x \le 1$.

Проверим, какие из чисел попадают в этот промежуток:

• $x = -3$: не попадает в промежуток $[-1, 1]$.
• $x = -\frac{2}{3}$: попадает в промежуток $[-1, 1]$, так как $-1 \le -\frac{2}{3} \le 1$.
• $x = 0$: попадает в промежуток $[-1, 1]$.
• $x = 4$: не попадает в промежуток $[-1, 1]$.
• $x = 0,8$: попадает в промежуток $[-1, 1]$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$; 0; 0,8.

5) $\sqrt{x} > -2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным. По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, поэтому неравенство $\sqrt{x} > -2$ будет верным для всех $x$, при которых выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл.

Проверим, какие из предложенных чисел принадлежат ОДЗ ($x \ge 0$):

• $x = -3$: не принадлежит ОДЗ.
• $x = -\frac{2}{3}$: не принадлежит ОДЗ.
• $x = 0$: принадлежит ОДЗ.
• $x = 4$: принадлежит ОДЗ.
• $x = 0,8$: принадлежит ОДЗ.

Ответ: 0; 4; 0,8.

6) $\frac{1}{x} > 1$

Решим неравенство. Перенесем все в одну сторону:

$\frac{1}{x} - 1 > 0 \implies \frac{1-x}{x} > 0$

Это неравенство справедливо, когда $0 < x < 1$.

Проверим, какие из чисел попадают в этот интервал:

• $x = -3$: не попадает в интервал $(0, 1)$.
• $x = -\frac{2}{3}$: не попадает в интервал $(0, 1)$.
• $x = 0$: не попадает в интервал $(0, 1)$ (и обращает знаменатель в ноль).
• $x = 4$: не попадает в интервал $(0, 1)$.
• $x = 0,8$: попадает в интервал $(0, 1)$, так как $0 < 0,8 < 1$.

Ответ: 0,8.