Номер 24, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. Решите неравенство:

1) $2x > -6$;

2) $-5x \le 20$;

3) $-\frac{2}{3}x > -4$;

4) $-0,2x \le 2$;

5) $8,7x \ge 0$;

6) $-3x \ge 0$;

7) $2\frac{2}{3}x > \frac{9}{16}$;

8) $3x + 1 > 4x - 6$;

9) $5x + 8 \le 2 - 3x$;

10) $5 - 4x \ge 3x + 8$;

11) $2,3x - 0,8 < 1 - 0,4x$;

12) $\frac{2}{3}x + 12 > -\frac{1}{6}x + 9$.

1)

$2x > -6$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 - положительное число, знак неравенства не меняется.
$x > \frac{-6}{2}$
$x > -3$
Решением является интервал от -3 до плюс бесконечности, не включая -3.
Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

2)

$-5x \le 20$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x \ge \frac{20}{-5}$
$x \ge -4$
Решением является числовой луч от -4 до плюс бесконечности, включая -4.
Ответ: $x \in [-4; +\infty)$.

3)

$-\frac{2}{3}x > -4$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $-\frac{3}{2}$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x < -4 \cdot (-\frac{3}{2})$
$x < \frac{12}{2}$
$x < 6$
Решением является интервал от минус бесконечности до 6, не включая 6.
Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

4)

$-0,2x \le 2$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -0,2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x \ge \frac{2}{-0,2}$
$x \ge -10$
Решением является числовой луч от -10 до плюс бесконечности, включая -10.
Ответ: $x \in [-10; +\infty)$.

5)

$8,7x \ge 0$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 8,7. Так как 8,7 - положительное число, знак неравенства не меняется.
$x \ge \frac{0}{8,7}$
$x \ge 0$
Решением является числовой луч от 0 до плюс бесконечности, включая 0.
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

6)

$-3x \ge 0$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x \le \frac{0}{-3}$
$x \le 0$
Решением является числовой луч от минус бесконечности до 0, включая 0.
Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

7)

$2\frac{2}{3}x > \frac{9}{16}$
Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.
$\frac{8}{3}x > \frac{9}{16}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{3}{8}$. Так как это число положительное, знак неравенства не меняется.
$x > \frac{9}{16} \cdot \frac{3}{8}$
$x > \frac{27}{128}$
Решением является интервал от $\frac{27}{128}$ до плюс бесконечности.
Ответ: $x \in (\frac{27}{128}; +\infty)$.

8)

$3x + 1 > 4x - 6$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть неравенства, а свободные члены — в другую.
$1 + 6 > 4x - 3x$
$7 > x$
Это эквивалентно записи $x < 7$.
Решением является интервал от минус бесконечности до 7, не включая 7.
Ответ: $x \in (-\infty; 7)$.

9)

$5x + 8 \le 2 - 3x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую.
$5x + 3x \le 2 - 8$
$8x \le -6$
Разделим обе части на 8.
$x \le -\frac{6}{8}$
Сократим дробь:
$x \le -\frac{3}{4}$
Решением является числовой луч от минус бесконечности до $-\frac{3}{4}$, включая $-\frac{3}{4}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{4}]$.

10)

$5 - 4x \ge 3x + 8$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую.
$5 - 8 \ge 3x + 4x$
$-3 \ge 7x$
Разделим обе части на 7.
$-\frac{3}{7} \ge x$
Это эквивалентно записи $x \le -\frac{3}{7}$.
Решением является числовой луч от минус бесконечности до $-\frac{3}{7}$, включая $-\frac{3}{7}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{7}]$.

11)

$2,3x - 0,8 < 1 - 0,4x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую.
$2,3x + 0,4x < 1 + 0,8$
$2,7x < 1,8$
Разделим обе части на 2,7.
$x < \frac{1,8}{2,7}$
Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$x < \frac{18}{27}$
Сократим дробь на 9:
$x < \frac{2}{3}$
Решением является интервал от минус бесконечности до $\frac{2}{3}$, не включая $\frac{2}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$.

12)

$\frac{2}{3}x + 12 > -\frac{1}{6}x + 9$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую.
$\frac{2}{3}x + \frac{1}{6}x > 9 - 12$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6.
$\frac{4}{6}x + \frac{1}{6}x > -3$
$\frac{5}{6}x > -3$
Умножим обе части на $\frac{6}{5}$.
$x > -3 \cdot \frac{6}{5}$
$x > -\frac{18}{5}$
$x > -3,6$
Решением является интервал от -3,6 до плюс бесконечности.
Ответ: $x \in (-3,6; +\infty)$.