Номер 26, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $5(x-4) > x+8;$

2) $3,6+5y \ge 7(1,2-y);$

3) $2x(3x-4)-3x(2x+5) < 7;$

4) $(x+7)^2 - (x-2)^2 \ge -15.$

1) $5(x - 4) > x + 8$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$5x - 20 > x + 8$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую часть неравенства, меняя их знаки на противоположные:
$5x - x > 8 + 20$
Приведем подобные слагаемые:
$4x > 28$
Разделим обе части неравенства на 4 (знак неравенства не меняется, так как 4 > 0):
$x > \frac{28}{4}$
$x > 7$
Решением неравенства является интервал $(7; +\infty)$. Наименьшее целое число, которое больше 7, — это 8.
Ответ: 8

2) $3,6 + 5y \ge 7(1,2 - y)$
Раскроем скобки в правой части неравенства:
$3,6 + 5y \ge 8,4 - 7y$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$5y + 7y \ge 8,4 - 3,6$
Приведем подобные слагаемые:
$12y \ge 4,8$
Разделим обе части неравенства на 12:
$y \ge \frac{4,8}{12}$
$y \ge 0,4$
Решением неравенства является числовой луч $[0,4; +\infty)$. Наименьшее целое число, которое больше или равно 0,4, — это 1.
Ответ: 1

3) $2x(3x - 4) - 3x(2x + 5) < 7$
Раскроем скобки:
$6x^2 - 8x - (6x^2 + 15x) < 7$
$6x^2 - 8x - 6x^2 - 15x < 7$
Приведем подобные слагаемые:
$(6x^2 - 6x^2) + (-8x - 15x) < 7$
$-23x < 7$
Разделим обе части неравенства на -23. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{7}{-23}$
$x > -\frac{7}{23}$
Решением неравенства является интервал $(-\frac{7}{23}; +\infty)$. Так как $-\frac{7}{23} \approx -0,3$, наименьшее целое число, которое больше $-\frac{7}{23}$, — это 0.
Ответ: 0

4) $(x + 7)^2 - (x - 2)^2 \ge -15$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((x + 7) - (x - 2))((x + 7) + (x - 2)) \ge -15$
Упростим выражения в каждой скобке:
$(x + 7 - x + 2)(x + 7 + x - 2) \ge -15$
$(9)(2x + 5) \ge -15$
$18x + 45 \ge -15$
Перенесем 45 в правую часть:
$18x \ge -15 - 45$
$18x \ge -60$
Разделим обе части на 18:
$x \ge \frac{-60}{18}$
Сократим дробь:
$x \ge -\frac{10}{3}$
$x \ge -3\frac{1}{3}$
Решением неравенства является числовой луч $[-3\frac{1}{3}; +\infty)$. Наименьшее целое число, которое больше или равно $-3\frac{1}{3}$, — это -3.
Ответ: -3