Номер 27, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Решите неравенство:

1) $5x - 2 > 3(3x - 1) - 4x;$

2) $2(1.3x - 4) - 5(1 - 3.2x) \ge 3(6.2x - 4) - 1;$

3) $(2x + 3)^2 - x(2x - 1) \ge 2x(x + 6) + 10 + x;$

4) $-3x(x + 2) + (x + 2)(4 - x) < 10 - (2x + 1)^2.$

1) $5x - 2 > 3(3x - 1) - 4x$

Сначала раскроем скобки в правой части неравенства:

$5x - 2 > 9x - 3 - 4x$

Теперь приведем подобные слагаемые в правой части:

$5x - 2 > (9x - 4x) - 3$

$5x - 2 > 5x - 3$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$5x - 5x > 2 - 3$

$0 \cdot x > -1$

$0 > -1$

Полученное неравенство $0 > -1$ является верным числовым неравенством. Это означает, что исходное неравенство справедливо при любом значении переменной $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $2(1,3x - 4) - 5(1 - 3,2x) \ge 3(6,2x - 4) - 1$

Раскроем все скобки в обеих частях неравенства:

$2,6x - 8 - 5 + 16x \ge 18,6x - 12 - 1$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$(2,6x + 16x) + (-8 - 5) \ge 18,6x + (-12 - 1)$

$18,6x - 13 \ge 18,6x - 13$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$18,6x - 18,6x \ge 13 - 13$

$0 \cdot x \ge 0$

$0 \ge 0$

Мы получили верное числовое неравенство $0 \ge 0$. Это означает, что исходное неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) $(2x + 3)^2 - x(2x - 1) \ge 2x(x + 6) + 10 + x$

Раскроем скобки. Для $(2x + 3)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(4x^2 + 12x + 9) - (2x^2 - x) \ge (2x^2 + 12x) + 10 + x$

$4x^2 + 12x + 9 - 2x^2 + x \ge 2x^2 + 12x + 10 + x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$(4x^2 - 2x^2) + (12x + x) + 9 \ge 2x^2 + (12x + x) + 10$

$2x^2 + 13x + 9 \ge 2x^2 + 13x + 10$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую с противоположным знаком:

$2x^2 + 13x + 9 - 2x^2 - 13x - 10 \ge 0$

$(2x^2 - 2x^2) + (13x - 13x) + (9 - 10) \ge 0$

$-1 \ge 0$

Полученное неравенство $-1 \ge 0$ является неверным. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

4) $-3x(x + 2) + (x + 2)(4 - x) < 10 - (2x + 1)^2$

Раскроем все скобки. Для $(2x + 1)^2$ снова используем формулу квадрата суммы:

$(-3x^2 - 6x) + (4x - x^2 + 8 - 2x) < 10 - (4x^2 + 4x + 1)$

$-3x^2 - 6x + 4x - x^2 + 8 - 2x < 10 - 4x^2 - 4x - 1$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$(-3x^2 - x^2) + (-6x + 4x - 2x) + 8 < -4x^2 - 4x + (10 - 1)$

$-4x^2 - 4x + 8 < -4x^2 - 4x + 9$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую с противоположным знаком:

$-4x^2 - 4x + 8 + 4x^2 + 4x - 9 < 0$

$(-4x^2 + 4x^2) + (-4x + 4x) + (8 - 9) < 0$

$-1 < 0$

Мы получили верное числовое неравенство $-1 < 0$, которое не зависит от $x$. Следовательно, исходное неравенство справедливо при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.