Номер 34, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Постройте график функции:

1) $y = |x - 5|;$

2) $y = |x + 4| - 3;$

3) $y = |x + 5| - 2x.$

Для построения графика функции $y = |x - 5|$ необходимо раскрыть модуль. По определению абсолютной величины, $|a| = a$ при $a \ge 0$ и $|a| = -a$ при $a < 0$.

Рассмотрим два случая для подмодульного выражения $x - 5$:

1. Если $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$, то $|x - 5| = x - 5$. Функция принимает вид $y = x - 5$. Это линейная функция, графиком которой является прямая.

2. Если $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$, то $|x - 5| = -(x - 5) = -x + 5$. Функция принимает вид $y = -x + 5$. Это также линейная функция.

Таким образом, график функции $y = |x - 5|$ состоит из двух лучей, выходящих из одной точки — вершины. Координаты вершины можно найти, приравняв подмодульное выражение к нулю: $x - 5 = 0 \implies x = 5$. При $x = 5$, $y = |5 - 5| = 0$. Вершина находится в точке $(5, 0)$.

Для построения графика найдем по одной дополнительной точке для каждого луча:

• Для луча $y = x - 5$ при $x \ge 5$: возьмем $x = 6$, тогда $y = 6 - 5 = 1$. Точка $(6, 1)$.
• Для луча $y = -x + 5$ при $x < 5$: возьмем $x = 4$, тогда $y = -4 + 5 = 1$. Точка $(4, 1)$.

Соединив вершину $(5, 0)$ с найденными точками, получим график функции. Этот график также можно получить сдвигом графика $y = |x|$ на 5 единиц вправо по оси Ох.

Ответ: График функции $y = |x - 5|$ — это V-образная кривая ("галочка") с вершиной в точке $(5, 0)$, ветви которой направлены вверх. Для $x \ge 5$ график совпадает с прямой $y = x - 5$, а для $x < 5$ — с прямой $y = -x + 5$.

График функции $y = |x + 4| - 3$ можно построить с помощью геометрических преобразований графика базовой функции $y = |x|$.

1. Начнем с графика функции $y = |x|$. Это V-образная кривая с вершиной в начале координат $(0, 0)$.

2. Построим график функции $y = |x + 4|$. Это преобразование вида $f(x) \to f(x+a)$ при $a=4$, что соответствует сдвигу исходного графика $y = |x|$ на 4 единицы влево по оси Ох. Вершина графика переместится в точку $(-4, 0)$.

3. Построим график функции $y = |x + 4| - 3$. Это преобразование вида $f(x) \to f(x)-b$ при $b=3$, что соответствует сдвигу графика $y = |x+4|$ на 3 единицы вниз по оси Оу. Вершина переместится из точки $(-4, 0)$ в точку $(-4, -3)$.

Для более точного построения найдем точки пересечения графика с осями координат:

• С осью Оу ($x=0$): $y = |0 + 4| - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.
• С осью Ох ($y=0$): $|x + 4| - 3 = 0 \implies |x + 4| = 3$. Это уравнение эквивалентно двум: $x+4=3$ или $x+4=-3$. Отсюда $x = -1$ и $x = -7$. Точки пересечения — $(-1, 0)$ и $(-7, 0)$.

Ответ: График функции $y = |x + 4| - 3$ — это V-образная кривая с вершиной в точке $(-4, -3)$, ветви которой направлены вверх. График пересекает ось Оу в точке $(0, 1)$ и ось Ох в точках $(-1, 0)$ и $(-7, 0)$.

Для построения графика функции $y = |x + 5| - 2x$ раскроем модуль, рассмотрев два случая. Точка, в которой подмодульное выражение $x+5$ меняет знак, это $x=-5$.

1. При $x \ge -5$, подмодульное выражение неотрицательно, поэтому $|x + 5| = x + 5$. Функция принимает вид:

$y = (x + 5) - 2x = -x + 5$.

Графиком на этом промежутке является луч прямой $y = -x + 5$. Найдем координаты его начальной точки: при $x = -5$, $y = -(-5) + 5 = 10$. Точка излома — $(-5, 10)$. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x=0$, $y = -0+5=5$. Точка $(0, 5)$.

2. При $x < -5$, подмодульное выражение отрицательно, поэтому $|x + 5| = -(x + 5) = -x - 5$. Функция принимает вид:

$y = -(x + 5) - 2x = -x - 5 - 2x = -3x - 5$.

Графиком на этом промежутке является луч прямой $y = -3x - 5$. Он подходит к точке излома $(-5, 10)$. Для его построения возьмем любую точку левее $x=-5$, например, $x=-6$. Тогда $y = -3(-6) - 5 = 18 - 5 = 13$. Точка $(-6, 13)$.

Итак, график состоит из двух лучей, соединяющихся в точке $(-5, 10)$.

Ответ: График функции $y = |x + 5| - 2x$ — это ломаная линия, состоящая из двух лучей с точкой излома в $(-5, 10)$. При $x \ge -5$ график совпадает с прямой $y = -x + 5$. При $x < -5$ график совпадает с прямой $y = -3x - 5$.