Номер 38, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $(a-1)x > 0;$

2) $(a-1)x < 2;$

3) $(a-1)x \geq a-1;$

4) $(a-1)^2x \leq 0;$

5) $a-2x < 1+ax;$

6) $2(a-2x) < 8-ax;$

7) $(a-4)x > a^2-16;$

8) $(a+4)x \leq a^2-16.$

1) Решим неравенство $(a-1)x > 0$.

Это линейное неравенство относительно $x$. Его решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от знака выражения $(a-1)$.

1. Если $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. Делим обе части неравенства на положительное число $(a-1)$, знак неравенства не меняется:$x > \frac{0}{a-1}$$x > 0$

2. Если $a-1 < 0$, то есть $a < 1$. Делим обе части неравенства на отрицательное число $(a-1)$, знак неравенства меняется на противоположный:$x < \frac{0}{a-1}$$x < 0$

3. Если $a-1 = 0$, то есть $a = 1$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x > 0$$0 > 0$Это неверное числовое неравенство, поэтому при $a=1$ решений нет.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (0; +\infty)$; если $a < 1$, то $x \in (-\infty; 0)$; если $a = 1$, то решений нет ($x \in \emptyset$).

2) Решим неравенство $(a-1)x < 2$.

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим три случая для коэффициента $(a-1)$.

1. Если $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. Делим на положительное число $(a-1)$:$x < \frac{2}{a-1}$

2. Если $a-1 < 0$, то есть $a < 1$. Делим на отрицательное число $(a-1)$ и меняем знак неравенства:$x > \frac{2}{a-1}$

3. Если $a-1 = 0$, то есть $a = 1$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x < 2$$0 < 2$Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (-\infty; \frac{2}{a-1})$; если $a < 1$, то $x \in (\frac{2}{a-1}; +\infty)$; если $a = 1$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

3) Решим неравенство $(a-1)x \ge a-1$.

Рассмотрим три случая для коэффициента $(a-1)$.

1. Если $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. Делим на положительное число $(a-1)$:$x \ge \frac{a-1}{a-1}$$x \ge 1$

2. Если $a-1 < 0$, то есть $a < 1$. Делим на отрицательное число $(a-1)$ и меняем знак неравенства:$x \le \frac{a-1}{a-1}$$x \le 1$

3. Если $a-1 = 0$, то есть $a = 1$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x \ge 0$$0 \ge 0$Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in [1; +\infty)$; если $a < 1$, то $x \in (-\infty; 1]$; если $a = 1$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

4) Решим неравенство $(a-1)^2 x \le 0$.

Коэффициент при $x$ равен $(a-1)^2$. Так как это квадрат выражения, он не может быть отрицательным.

1. Если $(a-1)^2 > 0$, то есть $a-1 \ne 0$, что означает $a \ne 1$. Делим обе части неравенства на положительное число $(a-1)^2$:$x \le \frac{0}{(a-1)^2}$$x \le 0$

2. Если $(a-1)^2 = 0$, то есть $a = 1$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x \le 0$$0 \le 0$Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a \ne 1$, то $x \in (-\infty; 0]$; если $a = 1$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

5) Решим неравенство $a - 2x < 1 + ax$.

Сначала преобразуем неравенство, сгруппировав члены с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой.$a - 1 < ax + 2x$$a - 1 < (a+2)x$

Рассмотрим три случая для коэффициента $(a+2)$.

1. Если $a+2 > 0$, то есть $a > -2$. Делим на положительное число $(a+2)$:$\frac{a-1}{a+2} < x$, или $x > \frac{a-1}{a+2}$

2. Если $a+2 < 0$, то есть $a < -2$. Делим на отрицательное число $(a+2)$ и меняем знак неравенства:$\frac{a-1}{a+2} > x$, или $x < \frac{a-1}{a+2}$

3. Если $a+2 = 0$, то есть $a = -2$. Неравенство принимает вид:$-2 - 1 < (-2+2)x$$-3 < 0 \cdot x$$-3 < 0$Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in (\frac{a-1}{a+2}; +\infty)$; если $a < -2$, то $x \in (-\infty; \frac{a-1}{a+2})$; если $a = -2$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

6) Решим неравенство $2(a - 2x) < 8 - ax$.

Преобразуем неравенство:$2a - 4x < 8 - ax$$ax - 4x < 8 - 2a$$(a-4)x < 2(4-a)$$(a-4)x < -2(a-4)$

Рассмотрим три случая для коэффициента $(a-4)$.

1. Если $a-4 > 0$, то есть $a > 4$. Делим на положительное число $(a-4)$:$x < \frac{-2(a-4)}{a-4}$$x < -2$

2. Если $a-4 < 0$, то есть $a < 4$. Делим на отрицательное число $(a-4)$ и меняем знак неравенства:$x > \frac{-2(a-4)}{a-4}$$x > -2$

3. Если $a-4 = 0$, то есть $a = 4$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x < -2(0)$$0 < 0$Это неверное числовое неравенство, поэтому решений нет.

Ответ: если $a > 4$, то $x \in (-\infty; -2)$; если $a < 4$, то $x \in (-2; +\infty)$; если $a = 4$, то решений нет ($x \in \emptyset$).

7) Решим неравенство $(a-4)x > a^2 - 16$.

Разложим правую часть на множители:$(a-4)x > (a-4)(a+4)$

Рассмотрим три случая для коэффициента $(a-4)$.

1. Если $a-4 > 0$, то есть $a > 4$. Делим на положительное число $(a-4)$:$x > \frac{(a-4)(a+4)}{a-4}$$x > a+4$

2. Если $a-4 < 0$, то есть $a < 4$. Делим на отрицательное число $(a-4)$ и меняем знак неравенства:$x < \frac{(a-4)(a+4)}{a-4}$$x < a+4$

3. Если $a-4 = 0$, то есть $a = 4$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x > (4-4)(4+4)$$0 > 0 \cdot 8$$0 > 0$Это неверное числовое неравенство, поэтому решений нет.

Ответ: если $a > 4$, то $x \in (a+4; +\infty)$; если $a < 4$, то $x \in (-\infty; a+4)$; если $a = 4$, то решений нет ($x \in \emptyset$).

8) Решим неравенство $(a+4)x \le a^2 - 16$.

Разложим правую часть на множители:$(a+4)x \le (a-4)(a+4)$

Рассмотрим три случая для коэффициента $(a+4)$.

1. Если $a+4 > 0$, то есть $a > -4$. Делим на положительное число $(a+4)$:$x \le \frac{(a-4)(a+4)}{a+4}$$x \le a-4$

2. Если $a+4 < 0$, то есть $a < -4$. Делим на отрицательное число $(a+4)$ и меняем знак неравенства:$x \ge \frac{(a-4)(a+4)}{a+4}$$x \ge a-4$

3. Если $a+4 = 0$, то есть $a = -4$. Неравенство принимает вид:$0 \cdot x \le (-4-4)(-4+4)$$0 \le -8 \cdot 0$$0 \le 0$Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > -4$, то $x \in (-\infty; a-4]$; если $a < -4$, то $x \in [a-4; +\infty)$; если $a = -4$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).