Номер 35, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. При каких значениях $b$ имеет положительный корень

уравнение:

1) $4x + 5 = 3b;$

2) $(b + 5)x = 2?$

1) Чтобы найти значения $b$, при которых уравнение $4x + 5 = 3b$ имеет положительный корень, сначала выразим $x$ через $b$.
Перенесем 5 в правую часть уравнения:
$4x = 3b - 5$
Разделим обе части на 4:
$x = \frac{3b - 5}{4}$
По условию, корень $x$ должен быть положительным, то есть $x > 0$.
Составим и решим неравенство:
$\frac{3b - 5}{4} > 0$
Умножим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$3b - 5 > 0$
$3b > 5$
$b > \frac{5}{3}$
Следовательно, уравнение имеет положительный корень при всех значениях $b$, больших $\frac{5}{3}$.
Ответ: $b > \frac{5}{3}$.

2) Рассмотрим уравнение $(b + 5)x = 2$.
Чтобы найти корень уравнения, нужно разделить обе части на $(b+5)$. Это возможно только в том случае, если $b + 5 \neq 0$, то есть $b \neq -5$. Если $b = -5$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 2$, что не имеет решений.
Итак, при $b \neq -5$ выразим $x$:
$x = \frac{2}{b + 5}$
По условию корень $x$ должен быть положительным: $x > 0$.
Составим неравенство:
$\frac{2}{b + 5} > 0$
Дробь положительна, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель 2 — положительное число. Следовательно, знаменатель также должен быть положительным:
$b + 5 > 0$
$b > -5$
Это условие не противоречит ограничению $b \neq -5$. Таким образом, уравнение имеет положительный корень при всех значениях $b$, больших -5.
Ответ: $b > -5$.