Номер 36, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. При каких значениях $b$ имеет единственный отрицательный корень уравнение:

1) $(b+4)x = b^2 - 16;$

2) $(3b^2 - 8b)x = b?$

1) $(b + 4)x = b^2 - 16$

Данное уравнение является линейным уравнением вида $Ax = B$, где коэффициент $A = b + 4$ и свободный член $B = b^2 - 16$.

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы коэффициент при $x$ не был равен нулю:

$A \neq 0 \Rightarrow b + 4 \neq 0 \Rightarrow b \neq -4$.

Если $b = -4$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = (-4)^2 - 16$, то есть $0 \cdot x = 0$. В этом случае корнем уравнения является любое действительное число, что противоречит условию о единственном корне.

При условии $b \neq -4$, мы можем найти корень уравнения, разделив обе части на $(b + 4)$:

$x = \frac{b^2 - 16}{b + 4}$

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, упростим выражение:

$x = \frac{(b - 4)(b + 4)}{b + 4} = b - 4$

Согласно условию задачи, этот единственный корень должен быть отрицательным, то есть $x < 0$.

$b - 4 < 0$

$b < 4$

Теперь необходимо объединить все найденные условия для $b$: корень является единственным при $b \neq -4$ и отрицательным при $b < 4$. Следовательно, $b$ должно удовлетворять обоим этим условиям.

Ответ: $b \in (-\infty; -4) \cup (-4; 4)$.

2) $(3b^2 - 8b)x = b$

Это линейное уравнение вида $Ax = B$, где $A = 3b^2 - 8b$ и $B = b$.

Уравнение имеет единственный корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю:

$A \neq 0 \Rightarrow 3b^2 - 8b \neq 0$

Вынесем $b$ за скобки:

$b(3b - 8) \neq 0$

Это неравенство выполняется, если $b \neq 0$ и $3b - 8 \neq 0$, то есть $b \neq \frac{8}{3}$.

Рассмотрим случаи, когда коэффициент $A$ равен нулю:

• Если $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Корнем является любое число, что не удовлетворяет условию единственности.
• Если $b = \frac{8}{3}$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = \frac{8}{3}$. Это уравнение не имеет корней.

При $b \neq 0$ и $b \neq \frac{8}{3}$ найдем единственный корень уравнения:

$x = \frac{b}{3b^2 - 8b} = \frac{b}{b(3b - 8)}$

Поскольку $b \neq 0$, мы можем сократить дробь на $b$:

$x = \frac{1}{3b - 8}$

По условию задачи, корень должен быть отрицательным: $x < 0$.

$\frac{1}{3b - 8} < 0$

Дробь с положительным числителем (1) будет отрицательной только в том случае, если ее знаменатель отрицателен.

$3b - 8 < 0$

$3b < 8$

$b < \frac{8}{3}$

Объединим все условия для $b$: корень единственен при $b \neq 0$ и $b \neq \frac{8}{3}$, и он отрицателен при $b < \frac{8}{3}$. Условие $b < \frac{8}{3}$ автоматически исключает значение $b = \frac{8}{3}$. Таким образом, мы должны учесть только $b < \frac{8}{3}$ и $b \neq 0$.

Ответ: $b \in (-\infty; 0) \cup (0; 8/3)$.