Номер 33, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Решите уравнение:

1) $|x - 4| + x = 3$;

2) $|4x - 3| - x = -1$;

3) $|x + 2| - x = 3$;

4) $|x - 5| + x = 7$.

1) $|x - 4| + x = 3$

Для решения уравнения с модулем, рассмотрим два случая, раскрывая модуль в зависимости от знака подмодульного выражения $x - 4$.

Случай 1: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

При этом условии $|x - 4| = x - 4$. Подставим это в уравнение:

$(x - 4) + x = 3$

$2x - 4 = 3$

$2x = 7$

$x = 3.5$

Полученное значение $x = 3.5$ не удовлетворяет условию $x \ge 4$, поэтому оно не является корнем уравнения.

Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.

При этом условии $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$. Подставим это в уравнение:

$(4 - x) + x = 3$

$4 = 3$

Получено неверное числовое равенство. Это означает, что при $x < 4$ уравнение не имеет решений.

Так как ни один из случаев не дал решений, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет решений.

2) $|4x - 3| - x = -1$

Решим уравнение, рассмотрев два случая, в зависимости от знака выражения под модулем. Найдем точку, в которой выражение под модулем равно нулю: $4x - 3 = 0$, откуда $x = \frac{3}{4}$.

Случай 1: $x \ge \frac{3}{4}$.

В этом случае $|4x - 3| = 4x - 3$. Уравнение принимает вид:

$(4x - 3) - x = -1$

$3x - 3 = -1$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Проверим, удовлетворяет ли корень условию $x \ge \frac{3}{4}$. Сравним $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Приведем к общему знаменателю $12$: $\frac{8}{12}$ и $\frac{9}{12}$. Так как $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, то $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$. Условие не выполняется, значит, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x < \frac{3}{4}$.

В этом случае $|4x - 3| = -(4x - 3) = 3 - 4x$. Уравнение принимает вид:

$(3 - 4x) - x = -1$

$3 - 5x = -1$

$-5x = -4$

$x = \frac{4}{5}$

Проверим, удовлетворяет ли корень условию $x < \frac{3}{4}$. Сравним $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{4}$. Приведем к общему знаменателю $20$: $\frac{16}{20}$ и $\frac{15}{20}$. Так как $\frac{16}{20} > \frac{15}{20}$, то $\frac{4}{5} > \frac{3}{4}$. Условие не выполняется, значит, и в этом случае решений нет.

Поскольку ни в одном из случаев мы не нашли решений, уравнение не имеет корней.

Ответ: нет решений.

3) $|x + 2| - x = 3$

Решим уравнение, раскрыв модуль. Для этого рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $x + 2$.

Случай 1: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.

В этом случае $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид:

$(x + 2) - x = 3$

$2 = 3$

Получено неверное числовое равенство, следовательно, на промежутке $x \ge -2$ решений нет.

Случай 2: $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.

В этом случае $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Уравнение принимает вид:

$(-x - 2) - x = 3$

$-2x - 2 = 3$

$-2x = 5$

$x = -\frac{5}{2} = -2.5$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $x < -2$.

Так как $-2.5 < -2$, условие выполняется. Значит, $x = -2.5$ является решением уравнения.

Ответ: -2.5.

4) $|x - 5| + x = 7$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x - 5$.

Случай 1: $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$.

В этом случае $|x - 5| = x - 5$. Уравнение принимает вид:

$(x - 5) + x = 7$

$2x - 5 = 7$

$2x = 12$

$x = 6$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $x \ge 5$.

Так как $6 \ge 5$, условие выполняется. Значит, $x = 6$ является решением уравнения.

Случай 2: $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$.

В этом случае $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$. Уравнение принимает вид:

$(5 - x) + x = 7$

$5 = 7$

Получено неверное числовое равенство. Это означает, что при $x < 5$ уравнение не имеет решений.

Единственным решением уравнения является $x = 6$.

Ответ: 6.