Номер 28, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{5x - 3}$;

2) $\sqrt{1 - 4x}$;

3) $\frac{5}{\sqrt{2 - 3x}}$;

4) $\sqrt{x - 3} + \frac{2}{x - 7}$;

5) $\sqrt{7x - 9} - \frac{3}{x^2 - 16}$;

6) $\frac{3}{\sqrt{4x + 20}} + \frac{1}{|x| - 3}$?

1) Выражение $\sqrt{5x - 3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
$5x - 3 \ge 0$
$5x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{5}$
Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in [\frac{3}{5}; +\infty)$.
Ответ: $x \ge \frac{3}{5}$.

2) Выражение $\sqrt{1 - 4x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
$1 - 4x \ge 0$
$-4x \ge -1$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{-1}{-4}$
$x \le \frac{1}{4}$
Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in (-\infty; \frac{1}{4}]$.
Ответ: $x \le \frac{1}{4}$.

3) Выражение $\frac{5}{\sqrt{2 - 3x}}$ имеет смысл, когда выполняются два условия: подкоренное выражение неотрицательно, и знаменатель не равен нулю. Поскольку корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$2 - 3x > 0$
$-3x > -2$
$x < \frac{-2}{-3}$
$x < \frac{2}{3}$
Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$.
Ответ: $x < \frac{2}{3}$.

4) Выражение $\sqrt{x - 3} + \frac{2}{x - 7}$ состоит из двух частей, и каждая из них должна иметь смысл.
1. Для слагаемого $\sqrt{x - 3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$
2. Для слагаемого $\frac{2}{x - 7}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7$
Объединяем оба условия: $x$ должен быть больше или равен 3, но не равен 7.
Это можно записать в виде объединения интервалов: $x \in [3; 7) \cup (7; +\infty)$.
Ответ: $x \in [3; 7) \cup (7; +\infty)$.

5) Выражение $\sqrt{7x - 9} - \frac{3}{x^2 - 16}$ имеет смысл, когда оба его члена имеют смысл.
1. Для $\sqrt{7x - 9}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$7x - 9 \ge 0 \implies 7x \ge 9 \implies x \ge \frac{9}{7}$
2. Для $\frac{3}{x^2 - 16}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 16 \neq 0 \implies x^2 \neq 16 \implies x \neq 4$ и $x \neq -4$.
Совмещаем условия: $x \ge \frac{9}{7}$ (это примерно $1.28$), $x \neq 4$ и $x \neq -4$. Условие $x \ge \frac{9}{7}$ автоматически исключает $x = -4$.
Остаются условия $x \ge \frac{9}{7}$ и $x \neq 4$.
Это соответствует объединению интервалов: $x \in [\frac{9}{7}; 4) \cup (4; +\infty)$.
Ответ: $x \in [\frac{9}{7}; 4) \cup (4; +\infty)$.

6) Выражение $\frac{3}{\sqrt{4x + 20}} + \frac{1}{|x| - 3}$ имеет смысл, когда оба слагаемых имеют смысл.
1. Для слагаемого $\frac{3}{\sqrt{4x + 20}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$4x + 20 > 0 \implies 4x > -20 \implies x > -5$
2. Для слагаемого $\frac{1}{|x| - 3}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$|x| - 3 \neq 0 \implies |x| \neq 3 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Объединяем все условия: $x > -5$, $x \neq -3$, и $x \neq 3$.
Это соответствует объединению интервалов: $x \in (-5; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.