Номер 25, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Решите неравенство:

1) $9 - 7(x + 3) \geq 5 - 6x;$

2) $0.4(6 - 4x) < 0.5(7 - 3x) - 1.9;$

3) $\frac{3}{4}\left(\frac{1}{6}y - \frac{1}{3}\right) > 3x - 11\frac{1}{2};$

4) $3x(x + 1) - 2x(5x + 3) < 7x(2 - x) + 4;$

5) $\frac{x - 3}{4} + \frac{x}{3} \geq 2;$

6) $\frac{x + 3}{2} - \frac{x - 4}{7} < 1;$

7) $\frac{5x - 2}{3} + \frac{2x - 1}{5} \leq \frac{4 - x}{4};$

8) $(x - 3)(x + 7) - (x + 2)(x - 7) \leq 7x;$

9) $(4x + 5)^2 + (3 - 2x)(8x + 1) > 7 + 61x;$

10) $(x + 2)(6 - 2x) < 14 - 2(x - 2)^2.$

1)$9 - 7(x + 3) \ge 5 - 6x$
Раскроем скобки:
$9 - 7x - 21 \ge 5 - 6x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-12 - 7x \ge 5 - 6x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$-7x + 6x \ge 5 + 12$
$-x \ge 17$
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le -17$
Ответ: $x \in (-\infty; -17]$.

2)$0,4(6 - 4x) < 0,5(7 - 3x) - 1,9$
Раскроем скобки:
$2,4 - 1,6x < 3,5 - 1,5x - 1,9$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$2,4 - 1,6x < 1,6 - 1,5x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$-1,6x + 1,5x < 1,6 - 2,4$
$-0,1x < -0,8$
Разделим обе части на $-0,1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > \frac{-0,8}{-0,1}$
$x > 8$
Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

3)$\frac{3}{4}(\frac{1}{6}y - \frac{1}{3}) > 3x - 11\frac{1}{2}$
Предположим, что в неравенстве опечатка, и переменная должна быть одна (например, $x$ вместо $y$). Решим неравенство $\frac{3}{4}(\frac{1}{6}x - \frac{1}{3}) > 3x - 11\frac{1}{2}$.
Раскроем скобки в левой части и преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6}x - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} > 3x - \frac{23}{2}$
$\frac{1}{8}x - \frac{1}{4} > 3x - \frac{23}{2}$
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель (8):
$8 \cdot (\frac{1}{8}x) - 8 \cdot (\frac{1}{4}) > 8 \cdot (3x) - 8 \cdot (\frac{23}{2})$
$x - 2 > 24x - 92$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$92 - 2 > 24x - x$
$90 > 23x$
$x < \frac{90}{23}$
$x < 3\frac{21}{23}$
Ответ: $x \in (-\infty; 3\frac{21}{23})$.

4)$3x(x + 1) - 2x(5x + 3) < 7x(2 - x) + 4$
Раскроем скобки:
$3x^2 + 3x - 10x^2 - 6x < 14x - 7x^2 + 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-7x^2 - 3x < 14x - 7x^2 + 4$
Прибавим к обеим частям $7x^2$:
$-3x < 14x + 4$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$-3x - 14x < 4$
$-17x < 4$
Разделим обе части на $-17$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > -\frac{4}{17}$
Ответ: $x \in (-\frac{4}{17}; +\infty)$.

5)$\frac{x - 3}{4} + \frac{x}{3} \ge 2$
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель (12), чтобы избавиться от дробей:
$12 \cdot \frac{x - 3}{4} + 12 \cdot \frac{x}{3} \ge 12 \cdot 2$
$3(x - 3) + 4x \ge 24$
Раскроем скобки:
$3x - 9 + 4x \ge 24$
Приведем подобные слагаемые:
$7x - 9 \ge 24$
$7x \ge 24 + 9$
$7x \ge 33$
$x \ge \frac{33}{7}$
$x \ge 4\frac{5}{7}$
Ответ: $x \in [4\frac{5}{7}; +\infty)$.

6)$\frac{x + 3}{2} - \frac{x - 4}{7} < 1$
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель (14):
$14 \cdot \frac{x + 3}{2} - 14 \cdot \frac{x - 4}{7} < 14 \cdot 1$
$7(x + 3) - 2(x - 4) < 14$
Раскроем скобки:
$7x + 21 - 2x + 8 < 14$
Приведем подобные слагаемые:
$5x + 29 < 14$
$5x < 14 - 29$
$5x < -15$
$x < -3$
Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

7)$\frac{5x - 2}{3} + \frac{2x - 1}{5} \le \frac{4 - x}{4}$
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель (60):
$60 \cdot \frac{5x - 2}{3} + 60 \cdot \frac{2x - 1}{5} \le 60 \cdot \frac{4 - x}{4}$
$20(5x - 2) + 12(2x - 1) \le 15(4 - x)$
Раскроем скобки:
$100x - 40 + 24x - 12 \le 60 - 15x$
Приведем подобные слагаемые:
$124x - 52 \le 60 - 15x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$124x + 15x \le 60 + 52$
$139x \le 112$
$x \le \frac{112}{139}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{112}{139}]$.

8)$(x - 3)(x + 7) - (x + 2)(x - 7) \le 7x$
Раскроем скобки:
$(x^2 + 7x - 3x - 21) - (x^2 - 7x + 2x - 14) \le 7x$
$(x^2 + 4x - 21) - (x^2 - 5x - 14) \le 7x$
$x^2 + 4x - 21 - x^2 + 5x + 14 \le 7x$
Приведем подобные слагаемые:
$9x - 7 \le 7x$
$9x - 7x \le 7$
$2x \le 7$
$x \le \frac{7}{2}$
$x \le 3,5$
Ответ: $x \in (-\infty; 3,5]$.

9)$(4x + 5)^2 + (3 - 2x)(8x + 1) > 7 + 61x$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и правило умножения многочленов:
$(16x^2 + 40x + 25) + (24x + 3 - 16x^2 - 2x) > 7 + 61x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$16x^2 - 16x^2 + 40x + 24x - 2x + 25 + 3 > 7 + 61x$
$62x + 28 > 7 + 61x$
$62x - 61x > 7 - 28$
$x > -21$
Ответ: $x \in (-21; +\infty)$.

10)$(x + 2)(6 - 2x) < 14 - 2(x - 2)^2$
Раскроем скобки:
$6x - 2x^2 + 12 - 4x < 14 - 2(x^2 - 4x + 4)$
$-2x^2 + 2x + 12 < 14 - 2x^2 + 8x - 8$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$-2x^2 + 2x + 12 < -2x^2 + 8x + 6$
Прибавим к обеим частям $2x^2$:
$2x + 12 < 8x + 6$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$12 - 6 < 8x - 2x$
$6 < 6x$
$1 < x$
$x > 1$
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.