Номер 20, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. Решите неравенство:

1) $-\frac{1}{(x+3)^2} - 2 < 0;$

2) $\frac{x-3}{3-x} < 0;$

3) $\frac{x-3}{x-3} \geq 0;$

4) $\frac{x-3}{x-3} \geq 1;$

5) $\frac{x-3}{3-x} \leq \frac{1}{6};$

6) $\left(\frac{x-4}{x-5}\right)^2 \geq 0;$

7) $\left(\frac{x-4}{x-5}\right)^2 > 0;$

8) $x + \frac{1}{x+1} > \frac{1}{x+1} - 3.$

1) Исходное неравенство: $ \frac{1}{(x+3)^2} - 2 < 0 $. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $ (x+3)^2 \neq 0 $, откуда $ x \neq -3 $. Перенесем 2 в правую часть: $ \frac{1}{(x+3)^2} < 2 $. Так как $ (x+3)^2 > 0 $ для всех $ x $ из ОДЗ, мы можем умножить обе части неравенства на $ (x+3)^2 $, не меняя знака неравенства: $ 1 < 2(x+3)^2 $. Разделим на 2: $ (x+3)^2 > \frac{1}{2} $. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $ x+3 > \sqrt{\frac{1}{2}} $ или $ x+3 < -\sqrt{\frac{1}{2}} $. Упрощая, получаем $ x+3 > \frac{\sqrt{2}}{2} $ или $ x+3 < -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Отсюда $ x > -3 + \frac{\sqrt{2}}{2} $ или $ x < -3 - \frac{\sqrt{2}}{2} $. Решение удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq -3 $). Таким образом, решение неравенства есть объединение двух интервалов. Ответ: $ x \in (-\infty; -3 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (-3 + \frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty) $.

2) Исходное неравенство: $ \frac{x-3}{3-x} < 0 $. ОДЗ: $ 3-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $. Преобразуем знаменатель: $ 3-x = -(x-3) $. Неравенство принимает вид: $ \frac{x-3}{-(x-3)} < 0 $. При $ x \neq 3 $ мы можем сократить дробь на $ (x-3) $, получим: $ -1 < 0 $. Это неравенство является верным для всех значений $ x $, при которых исходное выражение имеет смысл. Следовательно, решением является вся область допустимых значений. Ответ: $ x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.

3) Исходное неравенство: $ \frac{x-3}{x-3} \geq 0 $. ОДЗ: $ x-3 \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $. Для всех $ x $ из ОДЗ выражение $ \frac{x-3}{x-3} $ равно 1. Неравенство принимает вид: $ 1 \geq 0 $. Это неравенство верно. Следовательно, решением является вся область допустимых значений. Ответ: $ x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.

4) Исходное неравенство: $ \frac{x-3}{x-3} \geq 1 $. ОДЗ: $ x-3 \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $. Для всех $ x $ из ОДЗ выражение $ \frac{x-3}{x-3} $ равно 1. Неравенство принимает вид: $ 1 \geq 1 $. Это неравенство верно. Следовательно, решением является вся область допустимых значений. Ответ: $ x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.

5) Исходное неравенство: $ \frac{x-3}{3-x} \leq \frac{1}{6} $. ОДЗ: $ 3-x \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $. Для всех $ x $ из ОДЗ выражение $ \frac{x-3}{3-x} = \frac{x-3}{-(x-3)} $ равно -1. Неравенство принимает вид: $ -1 \leq \frac{1}{6} $. Это неравенство верно. Следовательно, решением является вся область допустимых значений. Ответ: $ x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.

6) Исходное неравенство: $ (\frac{x-4}{x-5})^2 \geq 0 $. ОДЗ: $ x-5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Выражение $ (\frac{x-4}{x-5})^2 $ определено и неотрицательно для всех $ x $ из ОДЗ. Таким образом, неравенство выполняется для всех допустимых значений $ x $. Ответ: $ x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty) $.

7) Исходное неравенство: $ (\frac{x-4}{x-5})^2 > 0 $. ОДЗ: $ x-5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $. Квадрат действительного числа строго больше нуля тогда и только тогда, когда само число не равно нулю. Следовательно, нам нужно, чтобы $ \frac{x-4}{x-5} \neq 0 $. Дробь не равна нулю, когда её числитель не равен нулю. $ x-4 \neq 0 $, то есть $ x \neq 4 $. Объединяя с ОДЗ, получаем, что $ x $ не должен быть равен 5 и 4. Ответ: $ x \in (-\infty; 4) \cup (4; 5) \cup (5; +\infty) $.

8) Исходное неравенство: $ x + \frac{1}{x+1} > \frac{1}{x+1} - 3 $. ОДЗ: $ x+1 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1 $. Вычтем из обеих частей неравенства слагаемое $ \frac{1}{x+1} $. Так как это равносильное преобразование, знак неравенства не изменится: $ x > -3 $. Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решением является пересечение множеств $ x > -3 $ и $ x \neq -1 $. Это означает, что $ x $ может принимать любые значения больше -3, кроме -1. Ответ: $ x \in (-3; -1) \cup (-1; +\infty) $.